「対偶と逆」について。

（01）

「含意の定義」と、「交換法則」により、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ②（Ｐであって、　　Ｑでない）ということは無い。 ③（Ｑでなくて、　　Ｐである）ということも無い。 ④　Ｑでないならば、Ｐでない。

において、①＝②、②＝③、③＝➃ である。∵

１　　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ 　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ 　２　　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ １２　　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ 　２　　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ １２　　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ １　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ １　　　（８）～（～Ｑ＆Ｐ）　　７交換法則 　　９　（９）　　～Ｑ　　　　　Ａ 　　　ア（ア）　　　　　Ｐ　　　Ａ 　　９ア（イ）　　～Ｑ＆Ｐ　　　９ア＆Ｉ １　９ア（ウ）～（～Ｑ＆Ｐ）＆ 　　　　　　　　（～Ｑ＆Ｐ）　　７ア＆Ｉ １　８　（エ）　　　　～Ｐ　　　アウＲＡＡ １　　　（オ）　～Ｑ→～Ｐ　　　８エＣＰ

従って、

（01）により、

（02）

「含意の定義」が、「正しく」、 「交換法則」　も、「正しい」とすると、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑでないならば、Ｐでない。

という「対偶」は、「常に等しい」が、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑであるならば、Ｐである。

という「逆」は、「そうではない」。

すなわち、

（03）

「交換法則」により、

②（Ｐであって、　　Ｑでない）ということは無い。 ③（Ｑでなくて、　　Ｐである）ということも無い。

の場合は、②＝③ ではあるが、よく見ると、

②（Ｐであって、　　Ｑでない）ということは無い。 ③（Ｑであって、　　Ｐでない）ということも無い。

の場合は、②＝③ ではない。

従って、

（01）（02）（03）により、

（04）

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑであるならば、Ｐである。

において、①＝➃ ではない。

従って、

（02）（04）により、

（05）

「含意の定義」が、「正しく」、 「交換法則」　も、「正しい」とすると、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑでないならば、Ｐでない。

という「対偶」は、「常に等しい」が、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑであるならば、Ｐである。

という「逆」は、「そうではない」。

従って、

（01）～（05）により、

（06）

「含意の定義」が、「正しく」、 「交換法則」　も、「正しい」とすると、

「逆」は、「必ずしも、真ではない」。