（ａ）「一昨日（１０月２０日）の記事」を補足します。
（ｂ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｃ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
「チコちゃんに叱られる！（ＮＨＫ、１０月２０日）」を視聴した上で、書いています。
（02）
「番組の中」で曰く、
①「前後の方向」と「上下の方向」が定まらなければ、「左右の方向」は定まらない。
②「上下の方向」と「左右の方向」が定まらなければ、「前後の方向」は定まらない。
③「左右の方向」と「前後の方向」が定まらなければ、「上下の方向」は定まらない。
④「鏡の中で逆転する」のは、実際には「前後」である。
⑤「鏡は何故、上下ではなく、左右を反転させる」のか、その「理由」は、未だ「謎」である。
（03）
紙にも表裏があります。
どちらが表か分からなくなった時はまず紙の表面を触ってみると良いでしょう。
一般的に、スベスベしたなめらかな方が表、ちょっとザラザラしたほうが裏です。
（紙の表裏・上下 - 書遊）
従って、
（03）により、
（04）
（α）「ＡＥ」と書いた「紙の表」を、「 鏡 」に向けて「鏡の中を見る」ことが出来、
（β）「ＡＥ」と書いた「紙の表」を、「照明」に向けて「裏側から透かして見る」ことが出来る。
然るに、
（05）
（α）の場合は、「ＡＥ」は「∃Ａ」という風に、見え、
（β）の場合も、「ＡＥ」は「∃Ａ」という風に、見える。
従って、
（04）（05）により、
（06）
「鏡面に映っている文字（のイメージ）の上下左右」は、
「裏側から見ている文字（のイメージ）の上下左右」に「等しい」。
然るに、
（07）
「人間」の場合は、
「背中の側」が「裏側」であって、
「お腹の側」が「表側」である。とする。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「鏡面に映っている文字（のイメージ）の上下左右」は、
「裏側から見ている文字（のイメージ）の上下左右」に「等しい」。
ということからすれば、必然的に、
「鏡に正対する、鏡の中の人物（のイメージ）の上下左右」は、
「背中を向けて立っている人物（のイメージ）の上下左右」に「等しい」。
然るに、
（09）
「背中を向けている人物β」が「回れ右」をすれば、
「人物βの上下」は「変わらず」、
「人物βの左右」が「逆転する」。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
「鏡に正対する、鏡の中の人物（のイメージ）の上下左右」は、
「背中を向けて立っている人物（のイメージ）の上下左右」に「等しい」。
ということからすれば、必然的に、
「鏡に正対する、鏡の中の人物（のイメージ）の上下左右」は、
「お腹を向けて立っている人物（のイメージ）の上下左右」と「逆」になる。
従って、
（10）により、
（11）
「鏡に正対する、鏡の中の人物α（のイメージ）」を、
「背中を向けていた人物β」が「回れ右」した場合の「イメージ」と、「同一視」するならば、
「αの左右」と「βの左右」が、「逆」になるのは、「当然」である。
然るに、
（12）
「背中」を向けている人物βが、「こちらを向く」ためには、
（ⅰ）「回れ右」をするか、
（ⅱ）「逆立ち」をするかの、どちらかです。
然るに、
（13）
「背中を向けている人物β」が「回れ右」ではなく、「逆立ち」をすれば、
「人物βの左右」は「変わらず」、
「人物βの上下」が「逆転する」。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
「鏡に正対する、鏡の中の人物α（のイメージ）」を、
「背中を向けていた人物β」が「逆立ち」した場合の「イメージ」と、「同一視」するならば、
「αの上下」と「βの上下」が、「逆」になるのは、「当然」である。
従って、
（11）（14）により、
（15）
鏡に映った像は、なぜ左右だけ反転して見えるのか（kju********さん、2018/9/1918:59:03）？
という「質問（ヤフー知恵袋）」に対しては、
私たちがもし、友人に後ろから声をかけられたとき肩越しに振り向くのではなく、逆立ちして後ろを向き会話を始めるような生物であれば、（誰かと対面するときに常に自分の頭は相手の足側、相手の足は自分の顔の前にあるわけですから）、鏡に写った自分を見て「上下が反転している」と感じるでしょう（lo96969olさん、2014/4/20 2:29:22）。
という「回答（ヤフー知恵袋）」が、「正解」です。
平成２０年１０月２２日、毛利太。
2018年10月22日月曜日
2018年10月12日金曜日
同一律・矛盾律・排中律（Ⅱ）。
（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」は、
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふことは、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことである。
然るに、
（05）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐである。はウソである」。
といふことである。
然るに、
（06）
③「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｐである。はウソである」。
といふことは、
③「Ｑである。が本当である」。
③「Ｐでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことである。
然るに、
（08）
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｑ
① ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」に「等しい」。
（11）
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」は、
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことである。
然るに、
（14）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことは、
④「Ｐでない。がウソである」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑである。がウソである」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（15）
④「Ｐでない。はウソである」。
④「Ｑである。はウソである」。
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（14）（15）により、
（16）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（17）
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（12）～（17）により、
（18）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（18）により、
（19）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
「日本語」に「翻訳」するならば、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」であるが故に、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（21）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ５ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｃ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １２ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ｄ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ４５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｅ）
１ （１）Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９）～Ｐ∨Ｑ ８＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
「自然演繹の規則」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（20）（22）により、
（23）
「日本國語（自然言語）」で考へても、
「自然演繹（人工言語）」で考へても、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）（13）により、
（24）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（25）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである（同一律）。
② ＰでないならばＰでない（同一律の対偶）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない（矛盾律）。
④ ＰでないかＰである（排中律）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（27）
ブロムウエルの疑問 ― 排中律は無限集合でも成立するか？ ― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）
従って、
（26）（27）により、
（28）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
⑤「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「そのどちらか一方が、成り立つ。」
然るに、
（29）
③「どちらかが、本当なら（未然形）ば、もう一方はウソである。」
④「どちらかが、ウソなら（未然形）ば、もう一方は本当である。」
⑤「そのどちらか一方が、成り立つ（終止形）。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるが、
④と⑤は、「同じこと」であるとは、思へない。
従って、
（27）（28）（29）により、
（30）
排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
といふ「言ひ方」は、「正しくはない」のでは、といふ風に、思はれる。
然るに、
（31）
いづれにせよ、
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」に、違いない。
従って、
（25）（27）（31）により、
（32）
「排中律」は「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふのであれば、
「矛盾律」も「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふことになる。
平成３０年１０月１２日、毛利太。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」は、
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふことは、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことである。
然るに、
（05）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐである。はウソである」。
といふことである。
然るに、
（06）
③「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｐである。はウソである」。
といふことは、
③「Ｑである。が本当である」。
③「Ｐでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことである。
然るに、
（08）
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｑ
① ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」に「等しい」。
（11）
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」は、
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことである。
然るに、
（14）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことは、
④「Ｐでない。がウソである」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑである。がウソである」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（15）
④「Ｐでない。はウソである」。
④「Ｑである。はウソである」。
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（14）（15）により、
（16）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（17）
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（12）～（17）により、
（18）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（18）により、
（19）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
「日本語」に「翻訳」するならば、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」であるが故に、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（21）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ５ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｃ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １２ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ｄ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ４５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｅ）
１ （１）Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９）～Ｐ∨Ｑ ８＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
「自然演繹の規則」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（20）（22）により、
（23）
「日本國語（自然言語）」で考へても、
「自然演繹（人工言語）」で考へても、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）（13）により、
（24）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（25）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである（同一律）。
② ＰでないならばＰでない（同一律の対偶）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない（矛盾律）。
④ ＰでないかＰである（排中律）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（27）
ブロムウエルの疑問 ― 排中律は無限集合でも成立するか？ ― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）
従って、
（26）（27）により、
（28）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
⑤「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「そのどちらか一方が、成り立つ。」
然るに、
（29）
③「どちらかが、本当なら（未然形）ば、もう一方はウソである。」
④「どちらかが、ウソなら（未然形）ば、もう一方は本当である。」
⑤「そのどちらか一方が、成り立つ（終止形）。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるが、
④と⑤は、「同じこと」であるとは、思へない。
従って、
（27）（28）（29）により、
（30）
排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
といふ「言ひ方」は、「正しくはない」のでは、といふ風に、思はれる。
然るに、
（31）
いづれにせよ、
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」に、違いない。
従って、
（25）（27）（31）により、
（32）
「排中律」は「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふのであれば、
「矛盾律」も「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふことになる。
平成３０年１０月１２日、毛利太。
2018年10月9日火曜日
同一律・矛盾律・排中律。
―「１０月０４日の記事」を書き直します。―
（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
（02）で示す通り、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
③ ＰであってＱでない。といふことはない。
④ ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
（02）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ５ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｃ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １２ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ｄ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ４５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｅ）
１ （１）Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９）～Ｐ∨Ｑ ８＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於いて、
① は「同一律」であって、
② は「 対偶 」であって、
③ は「矛盾律」であって、
④ は「排中律」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、尚且つ、「これらの四つの式」は、「恒真式（恒に真）」である。
然るに、
（06）
① Ｐなら（未然形）ばＰであり（、ＰでないならばＰでない）。
② Ｐでないなら（未然形）ばＰでなく（、ＰならばＰである）。
といふ「言ひ方」は、
① Ｐである。とは言ってゐないし、
② Ｐでない。とも言ってゐない。
然るに、
（07）
① Ｐである。とは言ってゐないし、
② Ｐでない。とも言ってゐない。
と言ふのであれば、
④ Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらか一方が成り立つ。
とまでは、言ってゐないのでは（？）といふ風に、思はれる。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於ける、
④ ＰでないかＰである。
の場合は、飽くまでも、
④ ＰでないかＰである。
であって、
④ Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらか一方が成り立つ。
といふことではない。といふ風に、思はれる。
従って、
（05）（06）（08）により、
（09）
① ＰならばＰであり（、ＰでないならばＰでない）。
② ＰでないならばＰでなく（、ＰならばＰである）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
⑤ Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらか一方が成り立つ。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、
④＝⑤ ではない。といふ風に、思はれる。
然るに、
（10）
ブロムウエルの疑問―排中律は無限集合でも成立するか？ ― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）。
との、ことである。
平成２０年１０月０９日、毛利太。
（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
（02）で示す通り、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
③ ＰであってＱでない。といふことはない。
④ ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
（02）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ５ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｃ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １２ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ｄ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ４５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｅ）
１ （１）Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９）～Ｐ∨Ｑ ８＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於いて、
① は「同一律」であって、
② は「 対偶 」であって、
③ は「矛盾律」であって、
④ は「排中律」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、尚且つ、「これらの四つの式」は、「恒真式（恒に真）」である。
然るに、
（06）
① Ｐなら（未然形）ばＰであり（、ＰでないならばＰでない）。
② Ｐでないなら（未然形）ばＰでなく（、ＰならばＰである）。
といふ「言ひ方」は、
① Ｐである。とは言ってゐないし、
② Ｐでない。とも言ってゐない。
然るに、
（07）
① Ｐである。とは言ってゐないし、
② Ｐでない。とも言ってゐない。
と言ふのであれば、
④ Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらか一方が成り立つ。
とまでは、言ってゐないのでは（？）といふ風に、思はれる。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① ＰならばＰである。
② ＰでないならばＰでない。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
に於ける、
④ ＰでないかＰである。
の場合は、飽くまでも、
④ ＰでないかＰである。
であって、
④ Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらか一方が成り立つ。
といふことではない。といふ風に、思はれる。
従って、
（05）（06）（08）により、
（09）
① ＰならばＰであり（、ＰでないならばＰでない）。
② ＰでないならばＰでなく（、ＰならばＰである）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない。
④ ＰでないかＰである。
⑤ Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらか一方が成り立つ。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、
④＝⑤ ではない。といふ風に、思はれる。
然るに、
（10）
ブロムウエルの疑問―排中律は無限集合でも成立するか？ ― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）。
との、ことである。
平成２０年１０月０９日、毛利太。
2018年10月2日火曜日
「Ｐならば（ＱならばＰである）。」は「当然（公理）」である（Ⅱ）。
（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（02）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ｛（ＰであってＰでない）。｝といふことはない。
といふこと（矛盾律）は、「常に、本当」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「常に、本当」である。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）（08）により、
（09）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
とは、言ふものの、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（〃）｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
といふ「自然演繹」が、「理解」出来れば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
に関して、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
ヒルベルトの演繹システムや、ゲンツェンのシークエント計算は、数理論理学者になるためには不可欠ですが、私たちが論理式の演算システムを初めて勉強するには全く不向きです。そこで本書は、ゲンツェンの「自然演繹」を解説することにします。「自然演繹」は、できるだけ私たちの日常の議論や数学の証明で行われる推論として、ゲンツェンが編み出したものです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６・１３７頁改）。命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである（E.J.ﾚﾓﾝ 著、論理学初歩、竹尾治一郎・
浅野楢英 訳、1973年、序文ⅲ）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
数理論理学者になるつもりがない人が、仮に、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ「公理」を、理解したいのであれば、「自然演繹」の「教科書」を、読むことを、勧めたい。
平成３０年１０月０２日、毛利太。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（02）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ｛（ＰであってＰでない）。｝といふことはない。
といふこと（矛盾律）は、「常に、本当」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「常に、本当」である。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）（08）により、
（09）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
とは、言ふものの、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（〃）｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
といふ「自然演繹」が、「理解」出来れば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
に関して、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
ヒルベルトの演繹システムや、ゲンツェンのシークエント計算は、数理論理学者になるためには不可欠ですが、私たちが論理式の演算システムを初めて勉強するには全く不向きです。そこで本書は、ゲンツェンの「自然演繹」を解説することにします。「自然演繹」は、できるだけ私たちの日常の議論や数学の証明で行われる推論として、ゲンツェンが編み出したものです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６・１３７頁改）。命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである（E.J.ﾚﾓﾝ 著、論理学初歩、竹尾治一郎・
浅野楢英 訳、1973年、序文ⅲ）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
数理論理学者になるつもりがない人が、仮に、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ「公理」を、理解したいのであれば、「自然演繹」の「教科書」を、読むことを、勧めたい。
平成３０年１０月０２日、毛利太。
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