同一律・矛盾律・排中律（Ⅱ）。

（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
① 　Ｐ→　Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」は、
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふことは、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことである。
然るに、
（05）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐである。はウソである」。
といふことである。
然るに、
（06）
③「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｐである。はウソである」。
といふことは、
③「Ｑである。が本当である」。
③「Ｐでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことである。
然るに、
（08）
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（09）により、
（10）
① 　Ｐ→　Ｑ
① ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」に「等しい」。
（11）
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」は、
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことである。
然るに、
（14）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことは、
④「Ｐでない。がウソである」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑである。がウソである」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（15）
④「Ｐでない。はウソである」。
④「Ｑである。はウソである」。
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（14）（15）により、
（16）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（17）
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（12）～（17）により、
（18）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（18）により、
（19）
① 　Ｐ→　Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
「日本語」に「翻訳」するならば、
①  ＰであるならばＱである。
②  ＱでないならばＰでない。
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
④  Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」であるが故に、
① 　　Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（21）
（ａ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
（ｂ）
１　　（１）～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　Ｐ　Ａ
　　３（３）～Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　～Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　Ｐ＆～Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｑ　　　５ＤＮ
１　　（８）　Ｐ→　Ｑ　２７ＣＰ
（ｃ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１２ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ｄ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　４５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ｅ）
１　（１）Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２（２）Ｐ＆～Ｑ　Ａ
　２（３）Ｐ　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　～Ｑ　２＆Ｅ
１２（５）　　　Ｑ　１４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ
１　（７）　～～Ｑ　４６ＲＡＡ
１　（８）　　　Ｑ　７ＤＮ
１　（９）～Ｐ∨Ｑ　８＆Ｉ
（ｆ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
「自然演繹の規則」により、
① 　　Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（20）（22）により、
（23）
「日本國語（自然言語）」で考へても、
「自然演繹（人工言語）」で考へても、
① 　　Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）（13）により、
（24）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（25）
①   　Ｐ→　Ｑ
②   ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④   ～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
①   　Ｐ→　Ｐ
②   ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④   ～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである（同一律）。
② ＰでないならばＰでない（同一律の対偶）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない（矛盾律）。
④ ＰでないかＰである（排中律）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（27）
　ブロムウエルの疑問 ― 排中律は無限集合でも成立するか？　― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）
従って、
（26）（27）により、
（28）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
⑤「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「そのどちらか一方が、成り立つ。」
然るに、
（29）
③「どちらかが、本当なら（未然形）ば、もう一方はウソである。」
④「どちらかが、ウソなら（未然形）ば、もう一方は本当である。」
⑤「そのどちらか一方が、成り立つ（終止形）。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるが、
④と⑤は、「同じこと」であるとは、思へない。
従って、
（27）（28）（29）により、
（30）
排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
といふ「言ひ方」は、「正しくはない」のでは、といふ風に、思はれる。
然るに、
（31）
いづれにせよ、
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」に、違いない。
従って、
（25）（27）（31）により、
（32）
「排中律」は「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふのであれば、
「矛盾律」も「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふことになる。
平成３０年１０月１２日、毛利太。