「二つ以上のＦが存在する」の「述語論理」。

（01）
１４２　∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　２２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なった変数 ｘとｙ を用いる場合に、そのことから、それに対応する
相異なった対象が存在するということは帰結しないのである。性質Ｆをもつ少なくとも２つ

の相異なった対象が存在する、ということを表現するためには、われわれは等号を必要とする。
すなわち、
　 　∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
― どちらもＦを持つ同一でないｘとｙが存在する。―
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎 浅野楢英雄 訳、1973年、２１０頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
② 性質Ｆをもつ少なくとも２つの相異なった対象が存在する。
③ ２つ以上のＦが存在する。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）により、
（03）
④ ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑥ Ｆは１個であるか、または、Ｆは０個である。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
然るに、
（04）
（ⅳ）
１　　　（１）　　～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）　　Ａ
１　　　（２）　　∀ｘ～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）　　１量化子の関係
１　　　（３）　　∀ｘ∀ｙ～（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）　　２量化子の関係
１　　　（４）　　　　∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆａ＆Ｆｙ）　　３ＵＥ
１　　　（５）　　　　　　～（ａ≠ｂ＆Ｆａ＆Ｆｂ）　　４ＵＥ
１　　　（６）　　　　　ａ＝ｂ∨　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　５ド・モルガンの法則
１　　　（７）　　　　　ａ＝ｂ∨（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　６結合法則
　８　　（８）　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　８　　（９）　　　　　ａ＝ｂ∨（　Ｆａ→～Ｆｂ）　　８∨Ｉ
　　ア　（ア）　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　Ａ
　　ア　（イ）　　　　　　　　　（　Ｆａ→～Ｆｂ）　　ア含意の定義
　　ア　（ウ）　　　　　ａ＝ｂ∨（　Ｆａ→～Ｆｂ）　　イ∨Ｉ
１　　　（エ）　　　　　ａ＝ｂ∨（　Ｆａ→～Ｆｂ）　　１８９アウ
１　　　（オ）　　　　　ａ≠ｂ→（　Ｆａ→～Ｆｂ）　　エ含意の定義
　　　カ（カ）　　　　　Ｆａ＆ａ≠ｂ　　　　　　　　　Ａ
　　　カ（キ）　　　　　　　　ａ≠ｂ　　　　　　　　　カ＆Ｅ
１　　カ（ク）　　　　　　　　　（　Ｆａ→～Ｆｂ）　　オキＭＰＰ
　　　カ（ケ）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　カ＆Ｅ
１　　カ（コ）　　　　　　　　　　　　　　～Ｆｂ　　　クケＭＰＰ
１　　　（サ）　　　　　Ｆａ＆ａ≠ｂ→～Ｆｂ　　　　　カコＣＰ
１　　　（シ）　　∀ｙ（Ｆａ＆ａ≠ｙ→～Ｆｙ）　　　　サＵＩ
１　　　（ス）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→～Ｆｙ）　　　　シＥＩ
（ⅴ）
１　　　（１）　∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→～Ｆｙ）　Ａ
　２　　（２）　　　∀ｙ（Ｆａ＆ａ≠ｙ→～Ｆｙ）　Ａ
　２　　（３）　　　　　　Ｆａ＆ａ≠ｂ→～Ｆｂ　　２ＵＥ
　２　　（４）　　　～（Ｆａ＆ａ≠ｂ）∨～Ｆｂ　　３含意の定義
　 　　５　（５）　　　～（Ｆａ＆ａ≠ｂ）　　　　　　Ａ
　　５　（６）　　　　～Ｆａ∨ａ＝ｂ　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　　５　（７）　　　　　～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ　　６∨Ｉ
　　　８（８）　　　　　　　　　　　　　～Ｆｂ　　Ａ
　　　８（９）　　　　　　　　　ａ＝ｂ∨～Ｆｂ　　８∨Ｉ
　　　８（ア）　　　　　～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ　　９∨Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ　　２５７８ア∨Ｅ
　２　　（ウ）　　∀ｙ（～Ｆａ∨ａ＝ｙ∨～Ｆｙ）　イＵＩ
　２　　（エ）∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）　ウＥＩ
１　　　（オ）∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）　１２エＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
④ ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→ ～Ｆｙ）
⑥ ∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（05）により、
（06）
④（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑤ あるｘとすべてのｙについて、（ｘがＦであって、ｘがｙでないならば、ｙはＦではない）。
⑥ あるｘとすべてのｙについて、（ｘはＦでないか、ｘはｙであるか、ｙはＦでない）。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（06）により、
（07）
④（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑤ Ｆが存在するならば、１つだけである。
⑥ Ｆは存在しないかも知れない。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
④ 　∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤ ～∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→ ～Ｆｙ）
⑥ ～∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）
に於いて、すなわち、
④（２つ以上のＦが存在する）。
⑤（Ｆが存在するならば、１つだけである）ということはない。
⑥（Ｆは存在しないかも知れない）ということはない。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（08）により、
（09）
④ ２つ以上のＦが存在する。
⑤ Ｆは存在するし、Ｆが１つだけであるということはない。
に於いて、
④ ならば、⑤ である。
令和５年３月２９日、毛利太。