（01）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １質料含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｒ ５∨Ｉ
５ （７） Ｐ→Ｒ ６質料含意の定義
５ （８） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ７∨Ｉ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
９ （イ） Ｑ→Ｒ ア質料含意の定義
９ （ウ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） イ∨Ｉ
３ （エ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ→Ｒ カ質料含意の定義
オ（ク） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） キ∨Ｉ
１ （ケ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １３オエク∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
において、すなわち、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｒである。
②（Ｐならば、Ｒである）か、または、（Ｑならば、Ｒである）。
において、
① ならば、「必然的」に、② である。
然るに、
（03）
例えば、
②（社長は、鈴木か、または、佐藤である）。
ということは、
②（鈴木が、社長である）かも知れないし、
②（佐藤が、社長である）かも知れない。
という「意味」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
②（Ｐならば、Ｒである）か、または、（Ｑならば、Ｒである）。
ということは、
②（Ｐならば、Ｒである）かも知れない。
②（Ｑならば、Ｒである）かも知れない。
ということである。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
において、すなわち、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｒである。
②（Ｐならば、Ｒである）か、または、（Ｑならば、Ｒである）。
において、
① ならば、「必然的」に、② であるが、このとき、
②（Ｐならば、Ｒである）かも知れないし、
②（Ｑならば、Ｒでない）かも知れない。
然るに、
（06）
Ｐ＝偶数である。
Ｑ＝素数である。
Ｒ＝ ２である。
とする。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（偶数であって、素数である）ならば、２である。
という「命題」が「真」であるならば、
②（偶数ならば、２である）かも知れないし、
②（素数ならば、２である）かも知れない。
という「命題」も「真」である。
然るに、
（08）
「偶素数」とは、「２」のことです。素数は１とその数以外に約数がない数ですが、２は唯一の偶数の素数であり、他のすべての偶数は２で割り切れるため素数ではありません。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）
従って、
（08）により、
（09）
①（偶数であって、素数である）ならば、２である。
という「命題」は「真」である。
従って、
（07）（09）により、
（10）
②（偶数ならば、２である）かも知れないし、
②（素数ならば、２である）かも知れない。
という「命題」も「真」である。
然るに、
（11）
②（偶数ならば、２である）かも知れないし、
②（素数ならば、２である）かも知れない。
という「命題」と、
②（偶数ならば、２である）。
②（素数ならば、２である）。
という「命題」は、「同じ」ではない。
従って、
（07）～（11）により、
（12）
①（偶数であって、素数である）ならば、２である。
という「命題」が「真」であるとしても、
②（偶数ならば、２である）。
②（素数ならば、２である）。
という「命題」は「真」ではない。
従って、
（12）により、
（13）
①（偶数であって、素数である）ならば、２である。
という「命題」が「真」であるならば、
②（偶数ならば、２である）。
②（素数ならば、２である）。
という「命題」は「偽」である。
∵「真→偽」という場合の「仮言命題」は「偽」である。
従って、
（13）により、
（14）
Ｐ＝偶数である。
Ｑ＝素数である。
Ｒ＝ ２である。
として、
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １質料含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｒ ５∨Ｉ
５ （７） Ｐ→Ｒ ６質料含意の定義
５ （８） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ７∨Ｉ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
９ （イ） Ｑ→Ｒ ア質料含意の定義
９ （ウ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） イ∨Ｉ
３ （エ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ→Ｒ カ質料含意の定義
オ（ク） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） キ∨Ｉ
１ （ケ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １３オエク∨Ｅ
という「命題計算」が「妥当」であるとしても、
①（偶数であって、素数である）ならば、２である。
という「命題」が「真」であるならば、
②（偶数ならば、２である）。
②（素数ならば、２である）。
という「命題」が「真」である。
というわけではない。
然るに、
（15）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス（Paradoxes of Material Implication）」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
従って、
（04）（10）（11）（14）（15）により、
（16）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １質料含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｒ ５∨Ｉ
５ （７） Ｐ→Ｒ ６質料含意の定義
５ （８） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ７∨Ｉ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
９ （イ） Ｑ→Ｒ ア質料含意の定義
９ （ウ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） イ∨Ｉ
３ （エ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ→Ｒ カ質料含意の定義
オ（ク） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） キ∨Ｉ
１ （ケ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １３オエク∨Ｅ
という「命題計算」が、
②（偶数ならば、２である）かも知れないし、
②（素数ならば、２である）かも知れない。
という「真なる命題」ではなく、
②（偶数ならば、２である）。
②（素数ならば、２である）。
という「偽なる命題」を「証明」している。
という風に、「誤解」するならば、「質料含意のパラドックス」に陥ることになる。
2025年11月30日日曜日
2025年11月29日土曜日
「質料含意の定義」と「パラドックス」（Ⅱ）
（01）
「偶素数」とは、「２」のことです。素数は１とその数以外に約数がない数ですが、２は唯一の偶数の素数であり、他のすべての偶数は２で割り切れるため素数ではありません。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）
従って、
（01）により、
（02）
① （偶数であって、素数である）ならば、２であるが、
② ４は偶数であって、素数ではないし、４は２ではない。
③ ５は素数であって、偶数ではないし、５は２ではない。
従って、
（02）により、
（03）
①（偶数であって、 素数である）ならば、２であるが、
②（偶数であっても、素数でない）ならば、２ではない。
③（素数であっても、偶数でない）ならば、２ではない。
において、
① ならば、② であって、
① ならば、③ である。
然るに、
（04）
偶数＝偶数である。
素数＝素数である。
２ ＝２ である。
→ ＝ならば、
∨ ＝または、
であるとして、
１ （１） （偶数＆素数）→２ Ａ
１ （２）～（偶数＆素数）∨２ １質料含意の定義
３ （３）～（偶数＆素数） Ａ
３ （４）～偶数∨～素数 ３ド・モルガンの法則
５ （５）～偶数 Ａ
５ （６）～偶数∨２ ５∨Ｉ
５ （７） 偶数→２ ６質料含意の定義
５ （８）（偶数→２）∨（素数→２） ７∨Ｉ
９ （９） ～素数 Ａ
９ （ア） ～素数∨２ ９∨Ｉ
９ （イ） 素数→２ ア質料含意の定義
９ （ウ）（偶数→２）∨（素数→２） イ∨Ｉ
３ （エ）（偶数→２）∨（素数→２） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） ２ Ａ
オ（カ） ～偶数∨２ ∨Ｉ
オ（キ） 偶数→２ カ質料含意の定義
オ（ク）（偶数→２）∨（素数→２） キ∨Ｉ
１ （ケ）（偶数→２）∨（素数→２） １３オエク∨Ｅ
という「推論（命題計算）」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は「妥当」である。
然るに、
（06）
② 素数であるか、または、素数ではない。
③ 偶数であるか、または、偶数ではない。
という「命題」は、２つとも「排中律（恒に真）」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② 素数であるか、または、素数ではない。
③ 偶数であるか、または、偶数ではない。
という「命題」は、２つとも「排中律（恒に真）」である。
という「理由」により、
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は、
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２である可能性が有り、
③（ 素数である）ならば、２である可能性が有る。
という「推論（連式）」に、「等しい」。
然るに、
（07）により、
（08）
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は、
②（偶数である ）ならば、２である可能性がある。
③（ 素数である）ならば、２である可能性がある。
という「命題」を「含意」するが、
②（偶数である ）ならば、２である。
③（ 素数である）ならば、２である。
という「命題」を「含意」しない。
然るに、
（09）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス （Paradoxes of Material Implication）」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）
従って、
（03）（08）（09）により、
（10）
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は、
②（偶数である ）ならば、２である可能性がある。
③（ 素数である）ならば、２である可能性がある。
という「命題」は「含意」するが、
②（偶数である ）ならば、２である。
③（ 素数である）ならば、２である。
という「命題」を「含意」しないにも拘わらず、
②（偶数である ）ならば、２である。
③（ 素数である）ならば、２である。
という「命題」を「含意」する。
という風に、「誤解」するならば、その場合は、「質料含意のパラドックス」の、「一例」となる。
「偶素数」とは、「２」のことです。素数は１とその数以外に約数がない数ですが、２は唯一の偶数の素数であり、他のすべての偶数は２で割り切れるため素数ではありません。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）
従って、
（01）により、
（02）
① （偶数であって、素数である）ならば、２であるが、
② ４は偶数であって、素数ではないし、４は２ではない。
③ ５は素数であって、偶数ではないし、５は２ではない。
従って、
（02）により、
（03）
①（偶数であって、 素数である）ならば、２であるが、
②（偶数であっても、素数でない）ならば、２ではない。
③（素数であっても、偶数でない）ならば、２ではない。
において、
① ならば、② であって、
① ならば、③ である。
然るに、
（04）
偶数＝偶数である。
素数＝素数である。
２ ＝２ である。
→ ＝ならば、
∨ ＝または、
であるとして、
１ （１） （偶数＆素数）→２ Ａ
１ （２）～（偶数＆素数）∨２ １質料含意の定義
３ （３）～（偶数＆素数） Ａ
３ （４）～偶数∨～素数 ３ド・モルガンの法則
５ （５）～偶数 Ａ
５ （６）～偶数∨２ ５∨Ｉ
５ （７） 偶数→２ ６質料含意の定義
５ （８）（偶数→２）∨（素数→２） ７∨Ｉ
９ （９） ～素数 Ａ
９ （ア） ～素数∨２ ９∨Ｉ
９ （イ） 素数→２ ア質料含意の定義
９ （ウ）（偶数→２）∨（素数→２） イ∨Ｉ
３ （エ）（偶数→２）∨（素数→２） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） ２ Ａ
オ（カ） ～偶数∨２ ∨Ｉ
オ（キ） 偶数→２ カ質料含意の定義
オ（ク）（偶数→２）∨（素数→２） キ∨Ｉ
１ （ケ）（偶数→２）∨（素数→２） １３オエク∨Ｅ
という「推論（命題計算）」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は「妥当」である。
然るに、
（06）
② 素数であるか、または、素数ではない。
③ 偶数であるか、または、偶数ではない。
という「命題」は、２つとも「排中律（恒に真）」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② 素数であるか、または、素数ではない。
③ 偶数であるか、または、偶数ではない。
という「命題」は、２つとも「排中律（恒に真）」である。
という「理由」により、
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は、
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２である可能性が有り、
③（ 素数である）ならば、２である可能性が有る。
という「推論（連式）」に、「等しい」。
然るに、
（07）により、
（08）
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は、
②（偶数である ）ならば、２である可能性がある。
③（ 素数である）ならば、２である可能性がある。
という「命題」を「含意」するが、
②（偶数である ）ならば、２である。
③（ 素数である）ならば、２である。
という「命題」を「含意」しない。
然るに、
（09）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス （Paradoxes of Material Implication）」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）
従って、
（03）（08）（09）により、
（10）
①（偶数であって、素数である）ならば、２であるが故に、
②（偶数である ）ならば、２であるか、または、
③（ 素数である）ならば、２である。
という「推論（連式）」は、
②（偶数である ）ならば、２である可能性がある。
③（ 素数である）ならば、２である可能性がある。
という「命題」は「含意」するが、
②（偶数である ）ならば、２である。
③（ 素数である）ならば、２である。
という「命題」を「含意」しないにも拘わらず、
②（偶数である ）ならば、２である。
③（ 素数である）ならば、２である。
という「命題」を「含意」する。
という風に、「誤解」するならば、その場合は、「質料含意のパラドックス」の、「一例」となる。
2025年11月27日木曜日
「質料含意の定義」と「パラドックス」と「ド・モルガンの法則」。
（01）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス (Paradoxes of Material Implication)」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
（02）
パラドックスの内容
古典論理学では、「ＰならばＱである (Ｐ→ Ｑ)」という実質含意は、前件Ｐが真で後件Ｑが偽の場合にのみ偽となり、それ以外の場合は常に真であると定義されます。この定義により、次のような直感に反する結論が導かれます。
偽の命題は、いかなる命題をも含意する（偽の前件のパラドックス）。
例：「もし月がチーズでできていたなら、東京は日本の首都である」は真の命題とみなされる。なぜなら、前件「月がチーズでできている」が偽だからである。
真の命題は、いかなる命題によっても（含意される）。
例：「もし私の犬が吠えるなら、今エクアドルで雨が降っているか、降っていないかのどちらかだ」は真の命題とみなされる。なぜなら、後件「今エクアドルで雨が降っているか、降っていないかのどちらかだ」が常に真だからである。
（03）
なぜパラドックスと呼ばれるのか
これらの例では、前件と後件の間に意味的な関連性が全くないにもかかわらず、論理的な推論としては「真」となってしまいます。日常会話での「もし～ならば、…」という表現には、通常、原因と結果、あるいは論理的な関連性（必然性）が含まれていると直感的に期待されるため、形式論理学の厳密な定義との間に**乖離（かいり）**が生じ、これが「パラドックス（逆説）」と感じられる原因となっています。 この問題を解決するために、C.I.ルイスによる厳密含意（必然的な関連性を導入する様相論理学）や、適切さの論理（前件と後件の関連性を要件とする論理体系）などが提案されてきました。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）。
然るに、
（04）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
において、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「日本語」で書くと、
① Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
①＝②＝③ であるが、このとき、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝ ③ は、「（質料）含意の定義」である。
然るに、
（07）
① Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）ということはない。
において、
①＝② であることは、「直観的に、正しく」、
②（ＰであってＱでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
②＝③ であることも、「直観的に、正しい」。
然るに、
（05）（06）により、
（08）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（02）（08）により、
（09）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝日本の首都は北京である（偽）。
であるとして、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（10）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５ （５） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５ （８） Ｐ ５＆Ｅ
５ （９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
イ（イ） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
イ（ウ） （～Ｐ＆Ｐ） ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） Ｑ アウＭＰＰ
（カ） ～（Ｐ∨～Ｐ）→Ｑ イオＣＰ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ カ含意の定義
（ク） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 排中律 ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 恒真式 ）∨Ｑ キＤＮ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝日本の首都は北京である（偽）。
であるとして、
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無いならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（12）
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない。）
という「命題」は、「排中律（恒真式）」である。
従って、
（12）により、
（13）
② （月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無い。
ということは、「有り得ない」。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無いならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」であるとしても、
② （月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無い。
ということは、「有り得ない」。
という「理由」により、
② 日本の首都は北京である。
ということも、「（それが偽である限り、）有り得ない」。
従って、
（09）(10)（14）により、
（15）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「（質料含意として）真」である。
という「言い方」は、「実質的」に、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
という「命題」が「真」である。
という「意味」になる。
然るに、
（16）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
という「命題」が「真」であるとしても、「パラドックス」には、ならない。
然るに、
（17）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
（７） ～～（Ｑ∨～Ｑ） １６ＲＡＡ
（８） Ｑ∨～Ｑ ７ＤＮ（は排中律）
（９）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ８∨Ｉ
（ア） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ９含意の定義
（イ） Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
（ウ）～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）＆
～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） アウ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）＆
Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ９イ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（ 排中律 ）＆
Ｐ∨（ 排中律 ） ９イ＆Ｉ
従って、
（02）（17）により、
（18）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝今エクアドルで雨が降っている。
として、
① 月がチーズで出来ている ならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
② 月がチーズで出来ていないならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「真（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
① 月がチーズで出来ている ならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
② 月がチーズで出来ていないならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「（同時に）真」である。
ということは、要するに、
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
ということに、「等しい」。
然るに、
（02）（19）により、
（20）
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
ということは、「当然」であって、「パラドックス」ではない。
従って、
（16）（20）により、
（21）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「パラドックス」ではない。
従って、
（01）～（21）により、
（22）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス (Paradoxes of Material Implication)」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
とは言うものの、
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５ （５） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５ （８） Ｐ ５＆Ｅ
５ （９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
イ（イ） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
イ（ウ） （～Ｐ＆Ｐ） ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） Ｑ アウＭＰＰ
（カ） ～（Ｐ∨～Ｐ）→Ｑ イオＣＰ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ カ含意の定義
（ク） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 排中律 ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 恒真式 ）∨Ｑ キＤＮ
（ｄ）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
（７） ～～（Ｑ∨～Ｑ） １６ＲＡＡ
（８） Ｑ∨～Ｑ ７ＤＮ（は排中律）
（９）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ８∨Ｉ
（ア） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ９含意の定義
（イ） Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
（ウ）～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）＆
～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） アウ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）＆
Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ９イ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（ 排中律 ）＆
Ｐ∨（ 排中律 ） ９イ＆Ｉ
という「計算」の「意味」を考える限り、
①「もし月がチーズで出来ていたなら、北京が日本の首都である。」という「命題」も、
③「もし月がチーズで出来ているならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。」という「命題」も、
という「命題」も、両方とも、「パラドックス」である。
ということには、ならない。
すなわち、
（21）（22）により、
（23）
もう一度、述べるものの、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「パラドックス」ではない。
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス (Paradoxes of Material Implication)」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
（02）
パラドックスの内容
古典論理学では、「ＰならばＱである (Ｐ→ Ｑ)」という実質含意は、前件Ｐが真で後件Ｑが偽の場合にのみ偽となり、それ以外の場合は常に真であると定義されます。この定義により、次のような直感に反する結論が導かれます。
偽の命題は、いかなる命題をも含意する（偽の前件のパラドックス）。
例：「もし月がチーズでできていたなら、東京は日本の首都である」は真の命題とみなされる。なぜなら、前件「月がチーズでできている」が偽だからである。
真の命題は、いかなる命題によっても（含意される）。
例：「もし私の犬が吠えるなら、今エクアドルで雨が降っているか、降っていないかのどちらかだ」は真の命題とみなされる。なぜなら、後件「今エクアドルで雨が降っているか、降っていないかのどちらかだ」が常に真だからである。
（03）
なぜパラドックスと呼ばれるのか
これらの例では、前件と後件の間に意味的な関連性が全くないにもかかわらず、論理的な推論としては「真」となってしまいます。日常会話での「もし～ならば、…」という表現には、通常、原因と結果、あるいは論理的な関連性（必然性）が含まれていると直感的に期待されるため、形式論理学の厳密な定義との間に**乖離（かいり）**が生じ、これが「パラドックス（逆説）」と感じられる原因となっています。 この問題を解決するために、C.I.ルイスによる厳密含意（必然的な関連性を導入する様相論理学）や、適切さの論理（前件と後件の関連性を要件とする論理体系）などが提案されてきました。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）。
然るに、
（04）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
において、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「日本語」で書くと、
① Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
①＝②＝③ であるが、このとき、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝ ③ は、「（質料）含意の定義」である。
然るに、
（07）
① Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）ということはない。
において、
①＝② であることは、「直観的に、正しく」、
②（ＰであってＱでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
②＝③ であることも、「直観的に、正しい」。
然るに、
（05）（06）により、
（08）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（02）（08）により、
（09）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝日本の首都は北京である（偽）。
であるとして、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（10）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５ （５） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５ （８） Ｐ ５＆Ｅ
５ （９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
イ（イ） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
イ（ウ） （～Ｐ＆Ｐ） ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） Ｑ アウＭＰＰ
（カ） ～（Ｐ∨～Ｐ）→Ｑ イオＣＰ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ カ含意の定義
（ク） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 排中律 ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 恒真式 ）∨Ｑ キＤＮ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝日本の首都は北京である（偽）。
であるとして、
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無いならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（12）
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない。）
という「命題」は、「排中律（恒真式）」である。
従って、
（12）により、
（13）
② （月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無い。
ということは、「有り得ない」。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無いならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」であるとしても、
② （月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無い。
ということは、「有り得ない」。
という「理由」により、
② 日本の首都は北京である。
ということも、「（それが偽である限り、）有り得ない」。
従って、
（09）(10)（14）により、
（15）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「（質料含意として）真」である。
という「言い方」は、「実質的」に、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
という「命題」が「真」である。
という「意味」になる。
然るに、
（16）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
という「命題」が「真」であるとしても、「パラドックス」には、ならない。
然るに、
（17）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
（７） ～～（Ｑ∨～Ｑ） １６ＲＡＡ
（８） Ｑ∨～Ｑ ７ＤＮ（は排中律）
（９）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ８∨Ｉ
（ア） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ９含意の定義
（イ） Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
（ウ）～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）＆
～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） アウ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）＆
Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ９イ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（ 排中律 ）＆
Ｐ∨（ 排中律 ） ９イ＆Ｉ
従って、
（02）（17）により、
（18）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝今エクアドルで雨が降っている。
として、
① 月がチーズで出来ている ならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
② 月がチーズで出来ていないならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「真（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
① 月がチーズで出来ている ならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
② 月がチーズで出来ていないならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「（同時に）真」である。
ということは、要するに、
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
ということに、「等しい」。
然るに、
（02）（19）により、
（20）
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
ということは、「当然」であって、「パラドックス」ではない。
従って、
（16）（20）により、
（21）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「パラドックス」ではない。
従って、
（01）～（21）により、
（22）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス (Paradoxes of Material Implication)」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
とは言うものの、
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５ （５） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５ （８） Ｐ ５＆Ｅ
５ （９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
イ（イ） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
イ（ウ） （～Ｐ＆Ｐ） ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） Ｑ アウＭＰＰ
（カ） ～（Ｐ∨～Ｐ）→Ｑ イオＣＰ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ カ含意の定義
（ク） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 排中律 ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 恒真式 ）∨Ｑ キＤＮ
（ｄ）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
（７） ～～（Ｑ∨～Ｑ） １６ＲＡＡ
（８） Ｑ∨～Ｑ ７ＤＮ（は排中律）
（９）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ８∨Ｉ
（ア） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ９含意の定義
（イ） Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
（ウ）～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）＆
～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） アウ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）＆
Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ９イ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（ 排中律 ）＆
Ｐ∨（ 排中律 ） ９イ＆Ｉ
という「計算」の「意味」を考える限り、
①「もし月がチーズで出来ていたなら、北京が日本の首都である。」という「命題」も、
③「もし月がチーズで出来ているならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。」という「命題」も、
という「命題」も、両方とも、「パラドックス」である。
ということには、ならない。
すなわち、
（21）（22）により、
（23）
もう一度、述べるものの、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「パラドックス」ではない。
2025年11月12日水曜日
「ゲーデルの不完全性定理（？！？）」
（01）
ＡＩによる概要：
ゲーデルの不完全性定理の主な誤解は、**「数学全体が不完全だ」とか、「数学に矛盾がある」と証明したわけではないという点です。実際には、数学の公理系は依然として無矛盾であり、不完全性定理はあくまで「特定の形式体系内では、無矛盾である限り、真でありながら証明できない命題が存在する」ということを示しました。また、「ヒルベルト・プログラムが完全に破壊された」**という誤解もありますが、これはゲーデルの見解とは異なり、定理はヒルベルトの目指す方向性を否定するのではなく、むしろその手段を拡張する必要があることを示したものだと解釈されています。
然るに、
（02）
（ⅰ）「ゲーデルの不完全性定理」が「正しい」とするならば、
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」において、
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「証明できない」。
然るに、
（03）
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「証明できない」。
とするならば、「普通」に考えると、
（ⅳ）「その定理Ｂの否定」は、「証明できる」。
という風に、「思われる」。
然るに、
（04）
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」において、
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「証明できない」。
という「証明」をするのは、飽くまでも、
（ⅰ）「ゲーデルの不完全性定理」であって、
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」そのものではない。
従って、
（02）（03）（04）により、
（04）
（ⅰ）「ゲーデルの不完全性定理」が「正しい」とするならば、
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」においては、
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「肯定」は出来ないし、
（ⅳ）「ある定理Ｂ」は、「否定」も出来ない。
ということになる（？！？）。
ＡＩによる概要：
ゲーデルの不完全性定理の主な誤解は、**「数学全体が不完全だ」とか、「数学に矛盾がある」と証明したわけではないという点です。実際には、数学の公理系は依然として無矛盾であり、不完全性定理はあくまで「特定の形式体系内では、無矛盾である限り、真でありながら証明できない命題が存在する」ということを示しました。また、「ヒルベルト・プログラムが完全に破壊された」**という誤解もありますが、これはゲーデルの見解とは異なり、定理はヒルベルトの目指す方向性を否定するのではなく、むしろその手段を拡張する必要があることを示したものだと解釈されています。
然るに、
（02）
（ⅰ）「ゲーデルの不完全性定理」が「正しい」とするならば、
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」において、
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「証明できない」。
然るに、
（03）
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「証明できない」。
とするならば、「普通」に考えると、
（ⅳ）「その定理Ｂの否定」は、「証明できる」。
という風に、「思われる」。
然るに、
（04）
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」において、
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「証明できない」。
という「証明」をするのは、飽くまでも、
（ⅰ）「ゲーデルの不完全性定理」であって、
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」そのものではない。
従って、
（02）（03）（04）により、
（04）
（ⅰ）「ゲーデルの不完全性定理」が「正しい」とするならば、
（ⅱ）「（数学の）ある公理系Ａ」においては、
（ⅲ）「ある定理Ｂ」は、「肯定」は出来ないし、
（ⅳ）「ある定理Ｂ」は、「否定」も出来ない。
ということになる（？！？）。
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