（01）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス (Paradoxes of Material Implication)」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
（02）
パラドックスの内容
古典論理学では、「ＰならばＱである (Ｐ→ Ｑ)」という実質含意は、前件Ｐが真で後件Ｑが偽の場合にのみ偽となり、それ以外の場合は常に真であると定義されます。この定義により、次のような直感に反する結論が導かれます。
偽の命題は、いかなる命題をも含意する（偽の前件のパラドックス）。
例：「もし月がチーズでできていたなら、東京は日本の首都である」は真の命題とみなされる。なぜなら、前件「月がチーズでできている」が偽だからである。
真の命題は、いかなる命題によっても（含意される）。
例：「もし私の犬が吠えるなら、今エクアドルで雨が降っているか、降っていないかのどちらかだ」は真の命題とみなされる。なぜなら、後件「今エクアドルで雨が降っているか、降っていないかのどちらかだ」が常に真だからである。
（03）
なぜパラドックスと呼ばれるのか
これらの例では、前件と後件の間に意味的な関連性が全くないにもかかわらず、論理的な推論としては「真」となってしまいます。日常会話での「もし～ならば、…」という表現には、通常、原因と結果、あるいは論理的な関連性（必然性）が含まれていると直感的に期待されるため、形式論理学の厳密な定義との間に**乖離（かいり）**が生じ、これが「パラドックス（逆説）」と感じられる原因となっています。
この問題を解決するために、C.I.ルイスによる厳密含意（必然的な関連性を導入する様相論理学）や、適切さの論理（前件と後件の関連性を要件とする論理体系）などが提案されてきました。
（生成ＡＩ：グーグルＧｅｍｉｎｉ）。
然るに、
（04）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
において、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「日本語」で書くと、
① Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
①＝②＝③ であるが、このとき、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝ ③ は、「（質料）含意の定義」である。
然るに、
（07）
① Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）ということはない。
において、
①＝② であることは、「直観的に、正しく」、
②（ＰであってＱでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
②＝③ であることも、「直観的に、正しい」。
然るに、
（05）（06）により、
（08）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（02）（08）により、
（09）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝日本の首都は北京である（偽）。
であるとして、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（10）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５ （５） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５ （８） Ｐ ５＆Ｅ
５ （９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
イ（イ） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
イ（ウ） （～Ｐ＆Ｐ） ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） Ｑ アウＭＰＰ
（カ） ～（Ｐ∨～Ｐ）→Ｑ イオＣＰ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ カ含意の定義
（ク） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 排中律 ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 恒真式 ）∨Ｑ キＤＮ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝日本の首都は北京である（偽）。
であるとして、
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無いならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（12）
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない。）
という「命題」は、「排中律（恒真式）」である。
従って、
（12）により、
（13）
② （月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無い。
ということは、「有り得ない」。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
② もし（月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無いならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「真」であるとしても、
② （月がチーズで出来ているか、または、月がチーズで出来ていない）ということが無い。
ということは、「有り得ない」。
という「理由」により、
② 日本の首都は北京である。
ということも、「（それが偽である限り、）有り得ない」。
従って、
（09）(10)（14）により、
（15）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である。
という「命題」は「（質料含意として）真」である。
という「言い方」は、「実質的」に、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
という「命題」が「真」である。
という「意味」になる。
然るに、
（16）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
という「命題」が「真」であるとしても、「パラドックス」には、ならない。
然るに、
（17）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
（７） ～～（Ｑ∨～Ｑ） １６ＲＡＡ
（８） Ｑ∨～Ｑ ７ＤＮ（は排中律）
（９）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ８∨Ｉ
（ア） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ９含意の定義
（イ） Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
（ウ）～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）＆
～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） アウ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）＆
Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ９イ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（ 排中律 ）＆
Ｐ∨（ 排中律 ） ９イ＆Ｉ
従って、
（02）（17）により、
（18）
Ｐ＝月はチーズで出来ている（偽）。
Ｑ＝今エクアドルで雨が降っている。
として、
① 月がチーズで出来ている ならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
② 月がチーズで出来ていないならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「真（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
① 月がチーズで出来ている ならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
② 月がチーズで出来ていないならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「（同時に）真」である。
ということは、要するに、
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
ということに、「等しい」。
然るに、
（02）（19）により、
（20）
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
ということは、「当然」であって、「パラドックス」ではない。
従って、
（16）（20）により、
（21）
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「パラドックス」ではない。
従って、
（01）～（21）により、
（22）
質料含意のパラドックス
「質料含意のパラドックス (Paradoxes of Material Implication)」とは、古典論理学における「実質含意（質料含意）」の定義が、日常言語で使われる「もし～ならば、…」という条件文の直感的な意味と乖離していることによって生じる、一見すると矛盾しているように見える命題群のことです。
とは言うものの、
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５ （５） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５ （８） Ｐ ５＆Ｅ
５ （９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ５９ＣＰ
イ（イ） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
イ（ウ） （～Ｐ＆Ｐ） ウ、ド・モルガンの法則
イ（オ） Ｑ アウＭＰＰ
（カ） ～（Ｐ∨～Ｐ）→Ｑ イオＣＰ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ カ含意の定義
（ク） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 排中律 ）∨Ｑ キＤＮ
（〃） （ 恒真式 ）∨Ｑ キＤＮ
（ｄ）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
（７） ～～（Ｑ∨～Ｑ） １６ＲＡＡ
（８） Ｑ∨～Ｑ ７ＤＮ（は排中律）
（９）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ８∨Ｉ
（ア） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ９含意の定義
（イ） Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
（ウ）～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）＆
～Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） アウ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）＆
Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） ９イ＆Ｉ
（〃）～Ｐ∨（ 排中律 ）＆
Ｐ∨（ 排中律 ） ９イ＆Ｉ
という「計算」の「意味」を考える限り、
①「もし月がチーズで出来ていたなら、北京が日本の首都である。」という「命題」も、
③「もし月がチーズで出来ているならば、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。」という「命題」も、
という「命題」も、両方とも、「パラドックス」である。
ということには、ならない。
すなわち、
（21）（22）により、
（23）
もう一度、述べるものの、
① もし月がチーズで出来ていたならば、日本の首都は北京である（が、ただし、月はチーズではない）。
③ 月がチーズであろうと、月がチーズでなかろうと、いずれにせよ、（今エクアドルで雨が降っているか、または、今エクアドルで雨が降っていない）。
という「命題」は、両方とも、「パラドックス」ではない。
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