「含意（Ｐならば、Ｑである）」について。

（01）
１　　　　　　　　　　　（１）　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　　　　　　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
　３　　　　　　　　　　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　４　　　　　　　　　（４）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　３　　　　　　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　　　　　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　　　　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　　　　　　（８）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　３　　　　　　　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　３　８　　　　　　　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　　　　　　（エ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ　　　　　　（オ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ　　　　　　（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　　　　　　（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　　　　　　　（ク）　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　　　　　　（ケ）　　　　　Ｑ　　　クＤＮ
１　　　　　　　　　　　（コ）　　Ｐ→　Ｑ　　　エケＣＰ
１　　　　　　　　　　　（サ）　～Ｐ∨～Ｑ　　　１∨Ｉ
　　　　　　シ　　　　　（シ）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　　　　　　ス　　　　（ス）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　シ　　　　　（セ）　　Ｐ　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シス　　　　（ソ）　～Ｐ＆Ｐ　　　　シス＆Ｉ
　　　　　　　ス　　　　（タ）～（Ｐ＆　Ｑ）　　シソＲＡＡ
　　　　　　　　チ　　　（チ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　　　シ　　　　　（ツ）　　　　　Ｑ　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ　チ　　　（テ）　　～Ｑ＆Ｑ　　　チツ＆Ｉ
　　　　　　　　チ　　　（ト）～（Ｐ＆　Ｑ）　　シテＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　（ナ）～（Ｐ＆　Ｑ）　　サスタチト∨Ｅ
　　　　　　　　　ニ　　（ニ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ヌ　（ヌ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　　　　　　ニヌ　（ネ）　　Ｐ＆　Ｑ　　　ニヌ＆Ｉ
１　　　　　　　　ニヌ　（ノ）～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　ナネ＆Ｉ
１　　　　　　　　ニ　　（ハ）　　　　～Ｑ　　　ヌノＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　（ヒ）　　Ｐ→～Ｑ　　　ニハＣＰ
然るに、
（01）により、
（02）
１　（１）～Ｐ　　　　Ａ
１　（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１　（３）　Ｐ→　Ｑ　２含意の定義
１　（４）～Ｐ∨～Ｑ　１∨Ｉ
１　（５）　Ｐ→～Ｑ　４含意の定義
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ～Ｐ├ Ｐ→　Ｑ
② ～Ｐ├ Ｐ→～Ｑ
という「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ→Ｑ
において、
③ Ｐが 「偽」 であるならば、
③ Ｑの「真偽」に関わらず、
③ Ｐ→Ｑ 自体は、「真」である。
然るに、
（04）により、
（05）
③ Ｐ→Ｑ
において、
③ Ｐが　「偽」であるならば、
③ Ｑは、「真」であるかも知れないし、
③ Ｑは、「偽」であるかも知れない。
従って、
（05）により、
（06）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
において、
③ Ｐが 「偽」 であるならば、
③ Ｑの「真偽」は「不明」である。
ということに、なるものの、このことは、「日本語の感覚」として、「極めて、当然」である。
従って、
（06）により、
（07）
含意の x → y は、日本語で表現すると、
「x ならば y 」ということですね。
これは、x が成り立つなら y が成り立つ、ということですけど、
では、x が成り立たないときはどうなるのかというと、
y が何でもＯＫということです。
この点、通常日本語の感覚の「～ならば」と論理学の「～ならば」と異なるので、注意が必要です。
たとえば、
「もし雨ならば、家に居る」
という文について、普通の日本語の意味で考えますと、
もし晴れだったならば外出するのだろう、
ということになるはずです。
しかし、論理学の文脈ですと、「晴れ」ならば、前提が成り立たないわけですから、何でもありになるのです。
（ヤフー！知恵袋）
という「説明」は、「（どちらかと言うと、）間違い」である。
令和７年４月１１日、毛利太。