「恒真式の否定」は「矛盾」である。

（01）
（ⅰ）
１（１）　　　Ｐ　　　　Ａ
１（２）　　　Ｐ∨Ｑ　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　１２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）（Ｐ＆Ｑ）　　　Ａ
１（２）　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ　１２ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　　　　Ｐ　　　　　　　Ａ
　２（２）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　Ａ
１２（３）　　　　　　　　　Ｑ　　１２ＭＰＰ
１　（４）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　２３ＣＰ
　　（５）Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１４ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」、すなわち、
①  Ｐならば（Ｐか、またはＱである）。
②（ＰであってＱである）ならばＱである。
③　Ｐならば（（ＰならばＱ）ならばＱ）
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
の「否定」である所の、
① 　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ｝
③ 　～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
という「論理式」は、「矛盾」であるに「違いない」。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　（１）　～（Ｐ→（Ｐ∨Ｑ））　　Ａ
　２（２）　　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　　２含意の定義
１２（４）　～（Ｐ→（Ｐ∨Ｑ））＆
　　　　　　　（Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　　１３＆Ｉ
１　（５）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ）　　　５ド・モルガンの法則
１　（７）　　Ｐ　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　（８）　　　　～（Ｐ∨Ｑ）　　　６＆Ｅ
１　（９）　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　８ド・モルガンの法則
１　（ア）　　　　～Ｐ　　　　　　　９＆Ｅ
１　（イ）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　７ア＆Ｉ
（ⅱ）
１　（１）　～（Ｐ＆Ｑ→　　Ｑ）　　Ａ
　２（２）　～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｑ　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ＆Ｑ→　　Ｑ　　　２含意の定義
１２（４）　～（Ｐ＆Ｑ→　　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ→　　Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　（５）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ｝　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｑ　　　５ド・モルガンの法則
１　（７）　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　６＆Ｅ
１　（８）　　　　　Ｑ　　　　　　　７＆Ｅ
１　（９）　　　　　　　　～Ｑ　　　６＆Ｅ
１　（ア）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
（ⅲ）
１　　（１）　～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝　　Ａ
　２　（２）　　～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）　　　２含意の定義
１２　（４）　～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝＆
　　　　　　　　｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝　　１３＆Ｉ
１　　（５）～｛～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝　　２４ＲＡＡ
１　　（６）　　Ｐ＆～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）　　　５ド・モルガンの法則
１　　（７）　　　　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）　　　６＆Ｅ
　　８（８）　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｑ　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ　　　　８含意の定義
１　８（ア）　　　　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）　　　７９＆Ｉ
１　　（イ）　　　～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｑ）　　　８アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｑ　　　　イ、ド・モルガンの法則
１　　（エ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　（オ）　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　　（カ）　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　ウ＆Ｅ
１　　（キ）　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　エオＭＰＰ
１　　（ク）　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　カキ＆Ｉ
従って、 （03）（04）により、
（05）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
の「否定」である所の、
① 　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ｝
③ 　～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
は、３つとも、「矛盾」である。
従って、
（05）により、
（06）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
の「否定」である所の、
① 　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ｝
③ 　～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
は、「背理法（ＲＡＡ）」により、
① 　～～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ｝
③ 　～～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
である。
然るに、
（06）により、
（07）
① 　～～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ｝
③ 　～～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
は、「二重否定（ＤＮ）」により、
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
である。
従って、
（02）（05）（06）（07）
（08）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、これらの「恒真式」は、
「否定」をすると、「背理法と二重否定」により、
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」になる。
従って、
（09）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、これらの「恒真式」は、
「否定」が、「出来ない」。
従って、
（09）
（10）
①  Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③  Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」は、「否定が出来ない」という「意味」において、「恒に、真である」。
（11）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　ウクＣＰ
（ⅱ）
１　　　　（１）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　７ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　サＤＮ
従って、
（11）により、
（12）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
において、
①＝② は、「含意の定義」である。
然るに、
（13）
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨　Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）　　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）　～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅳ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　４５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（13）により、
（14）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
において、
③＝④ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
① 　　Ｐ→Ｑ
② 　～Ｐ∨Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ
において、
①＝② は、「含意の定義」である。
③＝④ は、「ド・モルガンの法則」である。
令和７年４月８日、毛利太。