「チャート式 基礎からの確率・統計、練習２」

（01）
練習２　Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∪Ｂ＝Ｂ，また、Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∩Ｂ＝Ａ　を証明せよ。
（数研出版、チャート式 基礎からの確率・統計、初版 昭和４２年、１３頁）
然るに、
（02）
「練習略解」は「分かり難い」ため、
「命題計算」で『証明』することにした。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１）　Ａ→Ｂ　　　　　仮定
　２　　　（２）　Ａ∨Ｂ　　　　　仮定
　　３　　（３）　Ａ　　　　　　　仮定
１　３　　（４）　　　Ｂ　　　　　１３ＭＰＰ
　　　５　（５）　　　Ｂ　　　　　仮定
１２　　　（６）　　　Ｂ　　　　　２３４５５∨Ｅ
１　　　　（７）　Ａ∨Ｂ→Ｂ　　　２６ＣＰ
　　　　８（８）　　　Ｂ　　　　　Ａ
　　　　８（９）　Ａ∨Ｂ　　　　　８∨Ｉ
　　　　　（ア）　Ｂ→Ａ∨Ｂ　　　８９ＣＰ
１　　　　（イ）（Ａ∨Ｂ→Ｂ）＆
　　　　　　　　（Ｂ→Ａ∨Ｂ）　　７ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　Ａ∨Ｂ⇔Ｂ　　　イＤｆ.⇔
（ⅱ）
１　　　　（１）　Ａ∨Ｂ⇔Ｂ　　　仮定
１　　　　（２）（Ａ∨Ｂ→Ｂ）＆
　　　　　　　　（Ｂ→Ａ∨Ｂ）　　１Ｄｆ.⇔
１　　　　（３）　Ａ∨Ｂ→Ｂ　　　２＆Ｅ
　４　　　（４）　Ａ　　　　　　　仮定
　４　　　（５）　Ａ∨Ｂ　　　　　４∨Ｉ
１４　　　（６）　　　　　Ｂ　　　３５ＭＰＰ
１　　　　（７）　Ａ→Ｂ　　　　　４６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　Ａ→Ｂ　　　　　仮定
　２　（２）　Ａ＆Ｂ　　　　　仮定
　２　（３）　Ａ　　　　　　　２＆Ｅ
　　　（４）　Ａ＆Ｂ→Ａ　　　２３ＣＰ
　　５（５）　Ａ　　　　　　　Ａ
１　５（６）　　　Ｂ　　　　　１５ＭＰＰ
１　５（７）　Ａ＆Ｂ　　　　　５６＆Ｉ
１　　（８）　Ａ→Ａ＆Ｂ　　　５７ＣＰ
１　　（９）（Ａ＆Ｂ→Ａ）＆
　　　　　　（Ａ→Ａ＆Ｂ）　　４８＆Ｉ
１　　（ア）　Ａ＆Ｂ⇔Ａ　　　９Ｄｆ．⇔
（ⅳ）
１　（１）　Ａ＆Ｂ⇔Ａ　　　Ａ
１　（２）（Ａ＆Ｂ→Ａ）＆
　　　　　（Ａ→Ａ＆Ｂ）　　１Ｄｆ.⇔
１　（３）　Ａ→Ａ＆Ｂ　　　２＆Ｅ
　４（４）　Ａ　　　　　　　Ａ
１４（５）　　　Ａ＆Ｂ　　　３４ＭＰＰ
１４（６）　　　　　Ｂ　　　５＆Ｅ
１　（７）　Ａ→Ｂ　　　　　４６ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
「命題論理」の「言葉（記号）」で書くと、
① Ａ→Ｂ
② Ａ∨Ｂ⇔Ｂ
③ Ａ→Ｂ
④ Ａ＆Ｂ⇔Ａ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
「集合」の「言葉（記号）」で書くと、
① Ａ⊆Ｂ
② Ａ∪Ｂ＝Ｂ
③ Ａ∩Ｂ＝Ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０４年０３月１１日、毛利太。