「論理」と「集合（クラス）」の「類似性」。

（01）
①（集合Ａが集合Ｂの部分集合である）ならば、そのときに限って（集合Ａと集合Ｂの和集合は、集合Ｂに等しい）。
②（集合Ａが集合Ｂの部分集合である）ならば、そのときに限って（集合Ａと集合Ｂの積集合は、集合Ａに等しい）。
といふ「命題」は、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」で、表すことが出来る。
然るに、
（02）
　　Ａ＝ｘは集合Ａの要素である（ｘ∈Ａ）。
　　Ｂ＝ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ｂ）。
Ａ∨Ｂ＝ｘは集合Ａの要素であるか、または、ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ａ∨ｘ∈Ｂ）。
Ａ＆Ｂ＝ｘは集合Ａの要素であって、その上、ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ａ∨ｘ∈Ｂ）。
Ａ→Ｂ＝ｘが集合Ａの要素であるならば、　　ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ）。
とするならば、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」は、
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理の式」に、「相当」する。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　　　（１）　Ａ→Ｂ　　　　 　　         仮定
　２　　　　　（２）　Ａ∨Ｂ　　　　 　　         仮定
　　３　　　　（３）　Ａ　　　　　 　　　         仮定
１　３　　　　（４）　　　Ｂ　　　　 　　         １３ＭＰＰ
　　　５　　　（５）　　　Ｂ　　　　　　　　　　　仮定
１２　　　　　（６）　　　Ｂ　　　　 　　         ２３４５５∨Ｅ
１　　　　　　（７）　Ａ∨Ｂ→Ｂ　　 　         　２６ＣＰ
　　　　８　　（８）　　　Ｂ　　　　　　　　　　　仮定
　　　　８　　（９）　Ａ∨Ｂ　　　　　 　         ８∨Ｉ
　　　　　　　（ア）　Ｂ→Ａ∨Ｂ　　　 　         ８９ＣＰ
１　　　　　　（イ）（Ａ∨Ｂ→Ｂ）＆
　　　　　　　　　　（Ｂ→Ａ∨Ｂ）　　　 　　　　 ７ア＆Ｉ
１　　　　　　（ウ）　Ａ∨Ｂ⇔Ｂ　　 　　　　　　 イＤｆ.⇔
　　　　　　　（エ）（Ａ→Ｂ）→（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）　　１ウＣＰ
　　　　　オ　（オ）　Ａ∨Ｂ⇔Ｂ　　　　　　　　　仮定
　　　　　オ　（カ）（Ａ∨Ｂ→Ｂ）＆
　　　　　　　　　　（Ｂ→Ａ∨Ｂ）　　　　　　　　オＤｆ.⇔
　　　　　オ　（キ）　Ａ∨Ｂ→Ｂ　　　　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　　　ク（ク）　Ａ　　　　　　　　　　　　　仮定
　　　　　　ク（ケ）　Ａ∨Ｂ　　　　　　　　　　　ク∨Ｉ
　　　　　オク（コ）　　　　　Ｂ　　　　　　　　　キケＭＰＰ
　　　　　オ　（サ）　Ａ→Ｂ　　　　　　　　　　　クコＣＰ
　　　　　　　（シ）（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）→（Ａ→Ｂ）　　オサＣＰ
　　　　　　　（ス）（Ａ→Ｂ）→（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）＆
　　　　　　　　　　（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）→（Ａ→Ｂ）　　エシ＆Ｉ
　　　　　　　（セ）（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）　　スＤｆ.⇔
（ⅱ）
１　　　　（１）　Ａ→Ｂ　　　　　　　　　　　仮定
　２　　　（２）　Ａ＆Ｂ　　　　　　　　　　　仮定
　２　　　（３）　　　Ｂ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　　　　（４）　Ａ＆Ｂ→Ｂ　　　　　　　　　２３ＣＰ
　　５　　（５）　Ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　５　　（６）　　　Ｂ　　　　　　　　　　　１５ＭＰＰ
１　５　　（７）　Ａ＆Ｂ　　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
１　　　　（８）　Ａ→Ａ＆Ｂ　　　　　　　　　５７ＣＰ
１　　　　（９）（Ａ＆Ｂ→Ａ）＆
　　　　　　　　（Ａ→Ａ＆Ｂ）　　　　　　　　４９＆Ｉ
１　　　　（ア）　Ａ＆Ｂ⇔Ａ　　　　　　　　　９Ｄｆ.⇔
　　　　　（イ）（Ａ→Ｂ）→（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）　　１アＣＰ
　　　ウ　（ウ）（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）　　　　　　　　仮定
　　　ウ　（エ）（Ａ＆Ｂ→Ａ）＆
　　　　　　　　（Ａ→Ａ＆Ｂ）　　　　　　　　ウＤｆ.⇔
　  　ウ　（オ）　Ａ→Ａ＆Ｂ　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　　　　カ（カ）　Ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウカ（キ）　　　Ａ＆Ｂ　　　　　　　　　オカＭＰＰ
　　　ウカ（ク）　　　　　Ｂ　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　　　ウ　（ケ）　Ａ→Ｂ　　　　　　　　　　　カクＣＰ
　　　　　（コ）（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）→（Ａ→Ｂ）　　ウケＣＰ
　　　　　（サ）（Ａ→Ｂ）→（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）＆
　　　　　　　　（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）→（Ａ→Ｂ）　　イコ＆Ｉ
　　　　　（シ）（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）　　サＤｆ.⇔
従って、
（03）により、
（04）
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理式」に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理式」に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」に於いても、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であるに、違ひない。
然るに、
（06）
練習２　Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∪Ｂ＝Ｂ，また、Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∩Ｂ＝Ａ　を証明せよ。
（数研出版、チャート式 基礎からの確率・統計、初版 昭和４２年、１３頁）
然るに、
（05）（06）により、
（07）
「証明せよ」といふ「練習問題」がある以上、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」は、二つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
「集合はクラスの特別の種類のものであると解釈される（E.J.レモン著、石橋新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年、序論）。」
「実際、その第一の段階において、クラスの理論は命題計算よりも難しいものではなく、また、以下に見られる通り、それは密接な類似性をもっている（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２５９頁）。」
従って、
（05）～（08）により、
（09）
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理式」と、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合（クラス）の式」には、「密接な類似性（close resemblance）」がある。
然るに、
（10）
因みに、
（ａ）「E.J.レモン著、石橋新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年」
（ｂ）「E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、　1973年」
を「比較」すると、私にとっては、
（ａ）の方が、「格段に難しい」。
（11）
「高校数学」で「集合」と言へば、『ベン図』であるが、
「E.J.レモン著、公理的集合論入門、1972年」には、『ベン図』は、全く登場しない。
（12）
例題１　分配法則 （Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ） を証明せよ。
（数研出版、チャート式 基礎からの確率・統計、初版 昭和４２年、１２頁）
の「解答」は、

といふやうな『ベン図』で示される。

然るに、
（13）
（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）
といふ「集合の式」を、
（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ⇔（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）
と書くと、「見た瞬間に、そんなの当然」である。
ｃｆ.
（ⅰ）
１　　（１）（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ　　　　　仮定
１　　（２）　Ａ∨Ｂ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　Ｃ　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　Ａ　　　　　　　　　　仮定
１４　（５）　Ａ＆Ｃ　　　　　　　　３４＆Ｉ
１４　（６）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　Ｂ　　　　　　　　仮定
１　７（８）　　　Ｂ＆Ｃ　　　　　　３７＆Ｉ
１　７（９）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）　２４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）　仮定
　２　（２）（Ａ＆Ｃ）　　　　　　　仮定
　２　（３）　Ａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　Ａ∨Ｂ　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）　　　Ｃ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（６）（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ　　　　　４５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　Ｂ＆Ｃ　　仮定
　　７（８）　　　　　　　Ｂ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　Ａ∨Ｂ　　　　８∨Ｉ
　　７（ア）　　　　　　　　　Ｃ　　７＆Ｅ
　　７（イ）　　　（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ　　９ア＆Ｉ
１　　（ウ）（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ　　　　　１２６７イ∨Ｅ
従って、
（09）～（13）により、
（14）
（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）
といふ「集合の式」を、
（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ⇔（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）
といふ「命題論理の式」は、「密接な類似性（close resemblance）」があるため、
（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）
といふ「等式（集合の分配法則）」を「証明」する際に、『ベン図』は「不要」である。
（16）
「数学」⇒「論理」⇒「集合」。
といふ「連想」からすると、
「集合論は、数学者によって、さぞかし重んじられてゐるのだらう。」
と思ってゐたものの、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】）

とのことである。
令和０４年０３月１２日、毛利太。