「象が鼻は長い。」と「鼻は象が長い。」と「述語論理」。

（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
（ａ）
１　　　　（１）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　　Ａ
１　　　　（２）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　→～長ａ　　　Ａ
　　４　　（４）　　　∃ｙ（　鼻ａｙ＆長ａ）　　　　　　　Ａ
　　　５　（５）　　　　　　　鼻ａｂ＆長ａ　　　　　　　　Ａ
　　　５　（６）　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　　５＆Ｅ
　　　５　（７）　　　　　　　　　～～長ａ　　　　　　　　６ＤＮ
　３　５　（８）　　　　～（～象ｂ＆鼻ａｂ）　　　　　　　３７ＭＴＴ
　３　５　（９）　　　　～～象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　３　５　（ア）　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　　９含意の定義
　　　　イ（イ）　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　５イ（ウ）　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　　アイＭＰＰ
　　　５　（エ）　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３　５イ（オ）　　　　　～鼻ａｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　ウエ＆Ｉ
　３４　イ（カ）　　　　　～鼻ａｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　４５オＥＥ
　３　　イ（キ）　　～∃ｙ（　鼻ａｙ＆長ａ）　　　　　　　４カＲＡＡ
　３　　　（ク）　　～∃ｘ（　鼻ｂｘ＆長ｂ）　　　　　　　キ（変数は前後参照のための方便に過ぎないため。）
然るに、
（02）
　３　　　（ク）　　～∃ｘ（　鼻ｂｘ＆長ｂ）　　　　　　　キ（変数は前後参照のための方便に過ぎないため。）
といふ「結果」を受けての「計算」は、おそらくは、「無理」である。
然るに、
（03）
（ｂ）
１　　（１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）｝　Ａ
１　　（２）　　　～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　Ａ
　３　（３）∃ｘ（～象ｘ＆鼻ｂｘ）　　　　　　　　　　Ａ
　　４（４）　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　４（５）　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　２５ＭＰＰ
１　４（７）　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　６量化子の関係
１　４（８）　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　７ＵＥ
１　４（９）　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　８ド・モルガンの法則　
１　４（ア）　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　９含意の定義
　　４（イ）　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　アイＭＰＰ
１３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　３４ウＥＥ
１　　（オ）　　　∃ｘ（～象ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ　　　３エＣＰ
１　　（カ）∀ｙ｛∃ｘ（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝　　オＵＩ
１　　（〃）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　　オＵＩ（変数は前後参照のための方便に過ぎないため。）
ｃｆ.
１　（１）∀ｘ∃ｙＦｘｙ　Ａ
１　（２）　　∃ｙＦａｙ　１ＵＥ
　３（３）　　　　Ｆａｂ　Ａ
　３（４）　　∃ｘＦｘｂ　３ＥＩ
１　（５）　　∃ｘＦｘｂ　２３４ＥＥ
１　（６）∀ｙ∃ｘＦｘｙ　５ＵＩ（変数は前後参照のための方便に過ぎないため。）
といふ「計算」自体は、セーフです。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ａ）鼻は象が長い＝∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
（ｂ）象が鼻は長い＝∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
に於いて、すなはち、
（ａ）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝＝いかなるｘであっても｛ｘがある象ではないｙの鼻ならば、ｘは長くない｝。
（ｂ）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＝いかなるｘであっても｛ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない｝。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） であることを「証明」することは、「ムズカシイ」か、「ムリ」である。
しかしながら、
（05）
次の「二つの推論」自体は、「妥当（Valid）」です。
（ａ）
Ⅰ　　　（Ⅰ）鼻は象が長い。　Ａ
Ⅰ　　　（〃）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　Ａ
Ⅰ　　　（〃）いかなるｘであっても｛ｘが、ある象ではないｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。　Ａ
　Ⅱ　　（Ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　　　　　Ａ
Ⅰ　　　（４）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　ⅠＵＥ
　Ⅱ　　（５）　　　兎ｂ→～象ｂ　　　　　　　　　　　ⅡＵＥ
　　　６（６）　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
ⅠⅡ　６（８）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　６（９）　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
ⅠⅡ　６（ア）　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　８９＆Ｉ
ⅠⅡ　６（イ）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　アＥＩ
ⅠⅡ３　（ウ）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　３６イＥＥ
ⅠⅡ３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　４ウＭＰＰ
ⅠⅡ　　（オ）　　　∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　３エＣＰ
ⅠⅡ　　（Ⅲ）∀ｘ｛∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　オＵＩ
ⅠⅡ　　（〃）いかなるｘであっても｛あるｙが兎であって、ｘがｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
ⅠⅡ　　（〃）兎の鼻は長くない。
（ｂ）
Ⅰ　　　（Ⅰ）象が鼻は長い。　Ａ
Ⅰ　　　（〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａ
Ⅰ　　　（〃）すべてのｘについて｛ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、長い、といふことはない｝。　Ａ
　Ⅱ　　（Ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）∃ｘ（兎ｘ＆鼻ｂｘ）　　　　　　　　　　Ａ
Ⅰ　　　（４）　　　～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　ⅠＵＥ
　Ⅱ　　（５）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　ⅡＵＥ
　　　６（６）　　　兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　Ⅱ　６（８）　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
ⅠⅡ　６（９）　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　４８ＭＰＰ
ⅠⅡ　６（ア）　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）　　９量化子の関係
ⅠⅡ　６（イ）　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　アＵＥ
ⅠⅡ　６（ウ）　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　イ、ド・モルガンの法則
ⅠⅡ　６（エ）　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　ウ含意の定義
　　　６（オ）　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　６＆Ｅ
ⅠⅡ　６（カ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　エオＭＰＰ
ⅠⅡ３　（キ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　３６カＥＥ
ⅠⅡ　　（ク）　　　∃ｘ（兎ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ　　　３キＣＰ
ⅠⅡ　　（Ⅲ）∀ｙ｛∃ｘ（兎ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ　　　クＵＩ
ⅠⅡ　　（〃）いかなるｙであっても｛あるｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない｝。
ⅠⅡ　　（〃）兎の鼻は長くない。
従って、
（05）により、
（06）
（Ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（Ⅱ）兎は象ではない。故に、
（Ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」が、成立し、尚且つ、
（07）
（Ⅰ）象が鼻は長い。然るに、
（Ⅱ）兎は象ではない。故に、
（Ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」が、成立します。
従って、
（06）（07）により、
（08）
｛象の鼻、兎の鼻、麒麟の鼻｝
｛象の耳、兎の耳、麒麟の耳｝
｛象の首、兎の首、麒麟の首｝
といふ「変域」に於いて、
「鼻は象が長い。」と言へることと、
「象が鼻は長い。」と言へることは、
「兎の鼻は長くない。」といふことが言へるための、「十分条件」です。
然るに、
（09）
（ｂ）
１（１）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）　Ａ
１（２）∀ｙ～（鼻ｙｘ＆長ｙ）　１量化子の関係
１（３）　　～（鼻ｂｘ＆長ｂ）　２ＵＥ
１（４）　　～鼻ｂｘ∨～鼻ｂ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　鼻ｂｘ→～鼻ｂ　　含意の定義
１（６）∀ｙ（鼻ｙｘ→～鼻ｙ）　５ＵＩ
（ｃ）
１　（１）　∀ｙ（鼻ｙｘ→　～長ｙ）　Ａ
１　（２）　　　　鼻ｂｘ→　～長ｂ　　１ＵＥ
１　（３）　　　～鼻ｂｘ∨　～長ｂ　　２含意の定義
１　（４）～～（～鼻ｂｘ∨　～長ｂ）　３ＤＮ
１　（５）～（～～鼻ｂｘ＆～～長ｂ）　４ドモルガンの法則
１　（６）　　～（鼻ｂｘ＆　　長ｂ）　５ＤＮ
　７（７）　∃ｙ（鼻ｙｘ＆　　長ｙ）　Ａ
　７（８）　　　　鼻ｂｘ＆　　長ｂ　　７ＥＩ
１７（９）　　～（鼻ｂｘ＆長ｂ）＆
　　　　　　　　（鼻ｂｘ＆長ｂ）　　　６８＆Ｉ
１　（ア）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆　　長ｙ）　７９ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
（ｂ）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
（ｃ）∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）
に於いて、
（ｂ）＝（ｃ） である。
従って、
（10）
（Ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（Ⅱ）兎は象ではない。故に、
（Ⅲ）兎の鼻は長くない。
に於ける、
（〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。 は、
（〃）∀ｘ｛～象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。 と、「同じ」です。
従って、
（05）（10）により、
（11）
次の「推論」も、「妥当（Valid）」です。
Ⅰ　　　（Ⅰ）象の鼻が長い。　Ａ
Ⅰ　　　（〃）∀ｘ｛～象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
Ⅰ　　　（〃）すべてのｘについて｛ｘが象でないならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。
　Ⅱ　　（Ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）∃ｘ（兎ｘ＆鼻ｂｘ）　　　　　　　　　　Ａ
Ⅰ　　　（４）　　　～象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　Ａ
　Ⅱ　　（５）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　ⅡＵＥ
　　　６（６）　　　兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　Ⅱ　６（８）　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
ⅠⅡ　６（９）　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　４８ＭＰＰ
ⅠⅡ　６（ア）　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　９ＵＥ
　　　６（イ）　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　６＆Ｅ
ⅠⅡ　６（ウ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　アイＭＰＰ
ⅠⅡ３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　３６ウＥＥ
ⅠⅡ　　（オ）　　　∃ｘ（兎ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ　　　３エＣＰ
ⅠⅡ　　（カ）∀ｙ｛∃ｘ（兎ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ　　　オＵＩ
ⅠⅡ　　（〃）いかなるｙであっても｛あるｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない｝。
ⅠⅡ　　（〃）兎の鼻は長くない。
従って、
（11）により、
（12）
Ⅰ　　　（Ⅰ）象の鼻が長い。　Ａ
Ⅰ　　　（〃）∀ｘ｛～象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
Ⅰ　　　（〃）すべてのｘについて｛ｘが象でないならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。
であるとして、
（Ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（Ⅱ）兎は象ではない。故に、
（Ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」が、成立します。
従って、
（08）（12）により、
（13）
「兎は象ではない。」といふことは、
「常識（当然の仮定）」であるため、
｛象の鼻、兎の鼻、麒麟の鼻｝
｛象の耳、兎の耳、麒麟の耳｝
｛象の首、兎の首、麒麟の首｝
といふ「変域」に於いて、
「鼻は象が長い。」と言へることと、
「象が鼻は長い。」と言へることと、
「象の鼻が長い。」と言へることは、
「兎の鼻は長くない。」といふことが言へるための、「十分条件」です。
平成３０」年１２月０１日、毛利太。