（ａ）『返り点と括弧』については、『「返り点」と「括弧」（略８）（https://kannbunn.blogspot.com/2018/09/blog-post_17.html）』他もお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）。
② ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① すべてのｘについて｛ｘが馬であるならが、ｘは動物である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが馬である所のあるｙの頭であるならば、ｘは動物である所のあるｙの頭である｝。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
（02）
① すべての馬は動物である。
② すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことは、
① いかなるｘであっても｛ｘが馬であるならが、ｘは動物である｝。
② いかなるｘであっても｛ｘが馬である所のあるｙの頭であるならば、ｘは動物である所のあるｙの頭である｝。
といふことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）。
② ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① いかなるｘであっても｛ｘが馬であるならが、ｘは動物である｝。
② いかなるｘであっても｛ｘが馬である所のあるｙの頭であるならば、ｘは動物である所のあるｙの頭である｝。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
（04）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
― １０行、中略、―
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁改）
従って、
（01）～（04）により、
（05）
（１）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' heads.
（〃）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「論証」は、「英語」としても、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当（Valid）」である。
（06）
① ∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
② ∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝。
③ ∀ｘ｛∃ｙ（ 兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理」は、
① いかなるｘであっても｛ｘが、ある象ではない（動物）である所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
② いかなるｙであっても｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではない｝。
③ いかなるｘであっても｛ｘが、ある兎である所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
といふ「日本語」に、対応する。
然るに、
（06）
① いかなるｘであっても｛ｘが、ある象ではない所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
② いかなるｙであっても｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではない｝。
③ いかなるｘであっても｛ｘが、ある兎である所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② すべての兎は象ではない。
③ すべての兎の鼻は長くない。
といふことである。
ｃｆ.
① サンマは目黒が美味い（サンマは目黒に限る）。⇔
① ∀ｘ｛∃ｙ（～目黒ｙ＆サンマｘｙ）→～美味ｘ｝。⇔
① いかなるｘであっても｛ｘが、目黒ではない所のｙのサンマであるならば、ｘは美味くない｝。
然るに、
（08）
１ （１）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝ Ａ
３ （３）∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
１ （４） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ １ＵＥ
２ （５） 兎ｂ→～象ｂ ２ＵＥ
６（６） 兎ｂ＆鼻ａｂ Ａ
６（７） 兎ｂ ６＆Ｅ
１２ ６（８） ～象ｂ ５７ＭＰＰ
６（９） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
１２ ６（ア） ～象ｂ＆鼻ａｂ ８９＆Ｉ
１２ ６（イ） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ） アＥＩ
１２３ （ウ） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ） ３６イＥＥ
１２３ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
１２ （オ） ∃ｙ（ 兎ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ ３エＣＰ
１２ （カ）∀ｘ｛∃ｙ（ 兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ オＵＩ
然るに、
（09）
（ウ）の行において、ＥＥが正しく使われていることを知るためには、
（イ）の行をしらべてみる。そこにおいてえられている結論は「ｂ」を含んでいない。もちろん、
（イ）が依存している三つの仮定のうち、代表的選言項である（６）は「ｂ」を含んでいるが、
（１）と（２）は、両方とも、「ｂ」を含んでいない。こうして制限はまもられているのである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１４８頁改）
ｃｆ.
ＵＩの適用の際に、「注意」をすれば、良いだけなので、実際には、
１２ ６（ア） ～象ｂ＆鼻ａｂ ８９＆Ｉ
１２３ （イ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ３６ア
１２３ （ウ） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ） ３６イＥＥ
であっても、「問題」は、生じない。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ａ）
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
といふ、E.J.レモンが行った「計算」を、「手本」にして、私が行った、
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝ Ａ
３ （３）∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
１ （４） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ １ＵＥ
２ （５） 兎ｂ→～象ｂ ２ＵＥ
６（６） 兎ｂ＆鼻ａｂ Ａ
６（７） 兎ｂ ６＆Ｅ
１２ ６（８） ～象ｂ ５７ＭＰＰ
６（９） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
１２ ６（ア） ～象ｂ＆鼻ａｂ ８９＆Ｉ
１２ ６（イ） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ） アＥＩ
１２３ （ウ） ∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ） ３６イＥＥ
１２３ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
１２ （オ） ∃ｙ（ 兎ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ ３エＣＰ
１２ （カ）∀ｘ｛∃ｙ（ 兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ オＵＩ
といふ「計算」に、「マチガイ」が無いため、
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（２）鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当（Valid）」である。
仮に、
（12）
さうではなく、
（ａ）の「計算」を、「手本」にして行った、
（ｂ）の「計算」に、「マチガイ」があるならば、
（２）鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としては、「妥当（Valid）」であるが、「述語論理」としては「妥当（Valid）」ではない。
といふことになり、それ故、残念なことに、「鼻は象が長い。」といふ「日本語」は、「非論理的な表現」である。といふ風に、言はざるを得ない。
平成３０年１２月０１日、毛利太。
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