「述語論理」の「初歩的な、よくある間違い」に関連して。

　―「昨日（令和０３年０２月０５日）」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
１　４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
１　４（６）　　　∃ｘ（Ｇｘ）　５ＥＩ
１２　（７）　　　∃ｘ（Ｇｘ）　２４６ＥＥ
１　　（８）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　２７ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＥＩ
１２　（４）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１３ＭＰＰ
　　５（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
１２　（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　４５６ＥＥ
１　　（７）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　２６ＣＰ
１　　（８）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＵＩ
に於いて、
（ⅰ）は「正しい」が、
（ⅱ）は「間違ひ」である。
ｃｆ.
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４７頁）
然るに、
（02）
（ⅱ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　（２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　　（３）～∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）∀ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　３　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　４ＵＥ
　３　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　３　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　３　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＥＩ
　　９　（９）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
　　　ア（イ）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　ア∨Ｉ
　　　ア（ウ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　イ含意の定義
　　　ア（エ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　ウＥＩ
　　９　（オ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　９アエＥＥ
１　　　（カ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　２３８９オ∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　（１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　３４（５）　　　　　　Ｇａ　　　　　　３４ＭＰＰ
　　３４（６）　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　５ＥＩ
　２３　（７）　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　２４６ＥＥ
　　３　（８）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　２７ＣＰ
１　　　（９）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　１３８ＥＥ
に於いて、
（ⅱ）は「正しい」が、
（ⅲ）は「間違ひ」である。
ｃｆ.
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５４・１５５頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば ② であるが、
② ならば ① であるとは限らず、
② ならば ③ であるが、
③ ならば ② であるとは限らない。
従って、
（03）により、
（04）
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ ではない。
従って、
（04）により、
（05）
②（あるｘがＦである）ならば（あるｘはＧである）。
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ ではない。
然るに、
（06）
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化してしまって、
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）」と記号化するかわりに、
「∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）」とするのは、よくある間違い（である。しかし、「∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）」は、
「それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在する」ことを主張するのであって、
「これは、かりにフランス人が存在しない」としても「真」であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」はそうではない。
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１２３・１２４頁）
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ ではないが故に、
②（あるｘがフランス人である）ならば（あるｘは寛大である）。
③（ｘがフランス人であるならば、寛大であるようなｘ）が存在する。
に於いても、
②＝③ ではない。
ｃｆ.
③ There is something which,if ⅹ is French then ⅹ is generous.
然るに、
（08）
私には、
②（あるｘがフランス人である）ならば（あるｘは寛大である）。
③（ｘがフランス人であるならば、寛大であるようなｘ）が存在する。
に於いては、
②＝③ であるとしか、思へない。
然るに、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「論理式」は、
②（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
然るに、
（10）
「言葉」で「説明」するのは、「大変」であるが、
②（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②が「真」であれば、　③も「真」であるが、
③が「真」であっても、②が「真」であるとは、限らない。
（11）
③ ～Ｆａ＝「真」
であれば、それだけで、
③（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
は「真」であるが、
③ ～Ｆａ＝「真」
であっても、それだけでは、
②（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
は「真」であるとは、限りない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「論理式」は、
②（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ風に「展開」すると、
②＝③ ではないが、
②（あるｘがフランス人である）ならば（あるｘは寛大である）。
③（ｘがフランス人であるならば、寛大であるようなｘ）が存在する。
といふ風に「翻訳」すると、
②＝③ である。
としか、思へない。
従って、
（12）により、
（13）
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「論理式」は、
②（あるｘがＦである）ならば（あるｘはＧである）。
③（ｘがＦであるならば、Ｇであるようなｘ）が存在する。
といふ風に、「読むべきではない」ものの、とは言へ、
③（ｘがＦであるならば、Ｇであるようなｘ）が存在する。
といふ「読み方」は、「間違ひ」であるはずがない。
従って、
（13）により、
（14）
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「論理式」は、ある種の「パラドックス」であるに、違ひない。
令和０４年０２月０５日、毛利太。