４つの「パースの法則」。

（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（02）
「パースの法則」は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→～Ｑ　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨～Ｑ　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　　～Ｑ　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　～Ｑ　　　　Ａ
１　　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ　１８ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｑ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｑ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｑ　　　　Ａ
１　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｑ）→Ｑ　１８ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
①（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
③（（Ｐ→　Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
④（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｑ）→　Ｑ
といふ「トートロジー」は、「４つ」とも、全て、
１　　（１）Ａ
１　　（２）１含意の定義
　３　（３）Ａ
　３　（４）３含意の定義
　３　（５）４ド・モルガンの法則
　３　（６）５＆Ｅ
　　７（７）Ａ
１　　（８）１３６７７∨Ｅ
　　　（９）１８ＣＰ
といふ「計算」によって、「トートロジー」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
③（（Ｐ→　Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
④（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｑ）→　Ｑ
は、「４つ」とも「パースの法則」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　Ａ
１（２）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義
１（３）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　２含意の定義
１（４）　　（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）∨Ｐ　３ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１（１）　　（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）∨Ｐ　Ａ
１（２）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　２含意の定義
１（４）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　３含意の定義
従って、
（06）により、
（07）
①（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
「真理表」により、
②（（真→Ｑ）＆～真）∨真
②（（真→Ｑ）＆　偽）∨真
は「真」であって、
②（（偽→Ｑ）＆～偽）∨偽
②（（偽→Ｑ）＆　真）∨偽
も「真」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は「真（トートロジー）」であり、それ故、
① も「真（トートロジー）」である。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１（１）　　（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ　Ａ
１（２）　～（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）∨～Ｑ　１含意の定義
１（３）～（～（Ｐ→Ｑ）∨～Ｑ）∨～Ｑ　２含意の定義
１（４）　　（（Ｐ→Ｑ）＆　Ｑ）∨～Ｑ　３ド・モルガンの法則
（ⅳ）
１（１）　　（（Ｐ→Ｑ）＆　Ｑ）∨～Ｑ　Ａ
１（２）～（～（Ｐ→Ｑ）∨～Ｑ）∨～Ｑ　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）∨～Ｑ　２含意の定義
１（４）　　（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ　３含意の定義
従って、
（10）により、
（11）
③（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
④（（Ｐ→Ｑ）＆　Ｑ）∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（12）
「真理表」により、
④（（Ｐ→真）＆　真）∨～真
④（（Ｐ→真）＆　真）∨　偽
は「真」であって、
④（（Ｐ→偽）＆　偽）∨～偽
④（（Ｐ→偽）＆　偽）∨　真
も「真」である。
従って、
（13）
③（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
④（（Ｐ→Ｑ）＆　Ｑ）∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
④ は「真（トートロジー）」であり、それ故、
③ も「真（トートロジー）」である。
令和５年２月１０日、毛利太。