「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」は「排中律」である。

（01）
① （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
① は「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」であって、
② は「排中律（Law of excluded middle）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）
然るに、
（04）
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ＆　Ｑ）　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｑ　　Ａ
　 　２３（４）　　Ｐ＆　Ｑ　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　～Ｑ　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　　Ｐ→～Ｑ　　２６ＣＰ
１　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ　　７含意の定義
（ⅳ）
１　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　１
１　　（２）　　Ｐ→～Ｑ　　１含意の定義
　３　（３）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　３　（４）　　Ｐ　　　　　３＆Ｅ
１３　（５）　　　　～Ｑ　　２４ＭＰＰ
　３　（６）　　　　　Ｑ　　３＆Ｅ
１３　（７）　　～Ｑ＆Ｑ　　５６＆Ｉ
１　　（８）～（Ｐ＆　Ｑ）　３７ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）
従って、
（03）（05）により、
（06）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
③＝④ であって（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
（ⅴ）
１　　（１）　（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）～（Ｐ∨Ｐ）　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ＆～Ｐ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　　　～Ｐ　　　　４＆Ｅ
　３　（６）　　　～Ｐ∨　Ｐ　５∨Ｉ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　７（９）　　　～Ｐ∨　Ｐ　７∨Ｉ
１　　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｐ　１３６７９∨Ｅ
（ⅵ）
１　　　（１）　　～Ｐ∨　Ｐ　Ａ
１　　　（２）　　　Ｐ→　Ｐ　１含意の定義
　２　　（３）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ
　　４　（４）　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　　　　Ｐ　２４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　６（７）　　　　　　Ｐ　２６ＭＰＰ
１２　　（８）　　　　　　Ｐ　３４５６７∨Ｅ
１　　　（９）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　２８ＣＰ
従って、
（01）（07）により、
（08）
「含意の定義・ド・モルガンの法則」により、
① （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
①（Ｐであるか、またはＰである）ならばＰである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
に於いて、すなはち、
① は「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」であって、
② は「排中律」である。
に於いて、
①＝② である。
令和５年２月１３日、毛利太。