「象は鼻が長い」の「述語論理」と「直観主義論理」。

（01）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）
１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
　２　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２５　（６）　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
　 　 ７（７）　　　　　　   　 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　８ＥＩ
　２５　（ア）　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　６７９ＥＥ
　２５　（イ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　ア∨Ｉ
　２５　（ウ）　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　イ、ド・モルガンの法則
１２５　（エ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ウＭＴＴ
１２　　（オ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５エＣＰ
　　　カ（カ）　　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　カ（キ）　　　　　～～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ「二重否定の法則」
１２　カ（ク）　　～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オキＭＴＴ
１２　　（ケ）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カクＣＰ
１２　　（コ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、ｚが長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、ｚはｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」は、『述語論理』としても「妥当」である。
然るに、
（01）（03）により、
（04）
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、ｚはｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふことは、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、『述語論理』に「翻訳」した場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、ｚが長い）といふことはない｝。
といふ「意味」、すなはち、
① 象は鼻が長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」になる。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻が長（く、鼻以外は長くな）い。
といふ「意味」であるからこそ、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は『妥当』である。
然るに、
（07）
直観主義論理（intuitionistic logic）：
したがって、直観主義においては、「ある命題かその命題の否定かのどちらかが必ず真である」という排中律（Ａ∨～Ａ）は認められない。
また、Ａではないことが真ではないからといって、Ａが真であるとは言えないから、二重否定の法則（～～Ａ→Ａ）も認められない。
（したがって背理法の使用も制限される。）
従って、
（02）（07）により、
（08）
「直観主義論理」の場合は、
１２　（オ）　兎ａ→～象ａ　５エＣＰ
　　カ（カ）　　　　　象ａ　Ａ
　　カ（キ）　　　～～象ａ　キ「二重否定の法則」
　 １２カ（ク）～兎ａ　　　　　オキＭＴＴ
１２　（ケ）　象ａ→～兎ａ
　　 に於いて、
　　カ（カ）　　　　　象ａ　Ａ
　　カ（キ）　　　～～象ａ　キ「二重否定の法則」
　 は、「認められない」。
従って、
（02）（03）（08）により、
（09）
「直観主義論理」の場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
　 といふ「推論」は『妥当』ではない。
従って、
（01）（02）（06）（09）により、
（10）
「直観主義論理」からすると、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」ではない。
といふ、ことになるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は鼻が長（く、鼻以外は長くな）い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（10）により、
（11）
「日本語」といふ「視点」からすれば、
「直観主義論理」は、「メチャクチャな論理」である。
令和５年２月１３日、毛利太。