「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。

（01）
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨　Ｑ　　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→　Ｑ　　３含意の定義
１（５）　　　～Ｑ　　１＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨Ｐ　　　５∨Ｉ
１（７）　Ｑ→Ｐ　　　６含意の定義
１（８）（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　（Ｑ→Ｐ）　　４７＆Ｉ
１（９）　Ｐ⇔Ｑ　　　８Ｄｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の解答）
然るに、
（02）
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１　　　　　　（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１　　　　　　（３）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　２　　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
１　　　　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　７　　　　（７）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　８　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　７８　　　（９）　　Ｐ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
１　７８　　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　６９＆Ｉ
１　７　　　　（イ）　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
１　７　　　　（ウ）　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
１　　　　　　（エ）　　Ｐ→　Ｑ　　　７ウＣＰ
　　　　オ　　（オ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
１　　　　　　（カ）　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
　　　　オ　　（キ）　　Ｑ　　　　　　オ＆Ｅ
１　　　オ　　（ク）　～Ｑ＆Ｑ　　　　カキ＆Ｉ
１　　　　　　（ケ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　オクＲＡＡ
　　　　　コ　（コ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　サ（サ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　　コサ（シ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　コサ＆Ｉ
１　　　　コサ（ス）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　ケシ＆Ｉ
１　　　　コ　（セ）　　　～～Ｐ　　　サスＲＡＡ
１　　　　コ　（ソ）　　　　　Ｐ　　　セＤＮ
１　　　　　　（タ）　　Ｑ→　Ｐ　　　コソＣＰ
１　　　　　　（チ）　（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｑ→Ｐ）　　　エタ＆Ｉ
１　　　　　　（ツ）　　Ｐ⇔Ｑ　　　　チＤｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の別解答）
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（05）
あるいは、
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふ「言ひ方」は、幾分、「奇異（哲学的？）」に聞こえるかも知れない。
然るに、
（06）
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふのは、
「偽なる命題（の真理値）」と「偽なる命題（の真理値）」は「等しい」。
といふことに、過ぎない。
然るに、
（07）
「偽なる命題（の真理値）」と「偽なる命題（の真理値）」は「等しい」。
といふことは、
「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「両方とも偽である」。
といふことである。
然るに、
（08）
「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「両方とも偽である」。
といふのであれば、当然、
「真なる命題」と「真なる命題」は、「両方とも真である」。
然るに、
（09）
（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）　Ｐ＆Ｑ　　Ａ
１（２）　　　Ｑ　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→Ｑ　　３含意の定義
１（５）　Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨Ｐ　　５∨Ｉ
１（７）　Ｑ→Ｐ　　６含意の定義
１（８）（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　（Ｑ→Ｐ）　４７＆Ｉ
１（９）　Ｐ⇔Ｑ　　８Ｄｆ．⇔
従って、
（01）～（09）により、
（10）
① 　Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
② ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
といふ「連式」により、
①「真なる命題」と「真なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも真である）」。
②「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも偽である）」。
然るに、
（11）
（ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　２含意の定義
１（４）　～（Ｐ→Ｑ）∨
　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　３∨Ｉ
１（５）～｛（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　（Ｑ→Ｐ）｝　４ド・モルガンの法則
１（６）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　５Ｄｆ．⇔
（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１（２）～（Ｐ∨～Ｑ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（～Ｑ∨Ｐ）　　２交換法則
１（４）　～（Ｑ→Ｐ）　　３含意の定義
１（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨
　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　５∨Ｉ
１（６）～｛（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　（Ｑ→Ｐ）｝　４ド・モルガンの法則
１（７）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　６Ｄｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の解答）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 　Ｐ＆　Ｑ├ 　　Ｐ⇔Ｑ
② ～Ｐ＆～Ｑ├ 　　Ｐ⇔Ｑ
③ 　Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
④ ～Ｐ＆　Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「連式」により、
①「真なる命題」と「真なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも真である）」。
②「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも偽である）」。
③「真なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しくない」。
④「偽なる命題」と「真なる命題」も、「真理値が等しくない」。
令和５年２月１５日、毛利太。