「述語論理」は「命題論理」よりも「難解」である。

（01）
例へば、
①（Ｇａ）≡（ａさんは群馬県民である）。
②（Ｆａ）≡（ａさんは福岡県民である）。
に於いて、
①＝② でない。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（ａは群馬であって、ｂは福岡であって、ｃは福岡である）。
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（ａは福岡であって、ｂは福岡であって、ｃは福岡である）。
に於いて、
①＝② でない。
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
に於いて、
①＝② でない。
といふ「理由」により、
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、すなはち、
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）か、または（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② ではない。
然るに、
（04）
１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）　　　Ａ
　２　（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（６）　　　　Ｆｂ∨Ｇｂ　　　　　　　　　　　　　　　５∨Ｉ
　２　（７）　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（８）　　　　　　　Ｆｃ∨Ｇｃ　　　　　　　　　　　　７∨Ｉ
　２　（９）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）　　　　　　　　　４６＆Ｉ
　２　（ア）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）　８９＆Ｉ
　　イ（イ）　　　　　　　　　　　（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）　　　ア
　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　イ（エ）　　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　　　　ウ∨Ｉ
　　イ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　Ｇｂ　　　　　　　イ＆Ｅ
　　イ（キ）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ∨Ｇｂ　　　　　　　カ∨Ｉ
　　イ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇｃ　　　　イ＆Ｅ
　　イ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ∨Ｇｃ　　　　ク∨Ｉ
　　イ（コ）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）　　　　　　　　　エキ＆Ｉ
　　イ（サ）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）　ケコ＆Ｉ
１　　（シ）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）　１２Ａイサ∨Ｅ
従って、
（04）により、
（05）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②⇒③ である。
然るに、
（06）
１（１）　Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（４）　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（５）　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　２∨Ｉ
１（６）　　　　Ｆｂ∨Ｇｂ　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
１（７）　　　　　　　Ｇｃ∨Ｇｃ　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
１（８）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）　　　　　　　　　５６＆Ｉ
１（９）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｇｃ∨Ｇｃ）　７８＆Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①⇒③ である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② ではない。
②⇒③ である。
①⇒③ である。
従って、
（09）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②⇒③ であるが、
① であるならば、
③ ではあるが、② ではない。
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②⇒③ であるが、
③⇒② であるとは、「限らない」。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を「付け替へる」として、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② であるが、
②⇒① であるとは「限らない」が、このことは、「実際には」、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
を見れば、「それだけで、明白である」。
然るに、
（12）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「（命題）論理式」に「等しい」。
然るに、
（13）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　５ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
　　　　　　― 中略 ―
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５５頁）
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
① であるならば、　② であるが、
② であるとしても、① であるとは、限らない。
然るに、
（15）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ∨Ｇｂ　　１ＵＥ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
Ｆａ∨Ｇｂ を（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。
しかし（３）はａを含むが故、ここで ∀ｘ（Ｆｘ）を結論することは出来ない。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５６頁）
といふ「説明」は、「私には、分かり易い」が、「初学者には、分かり難い」。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
「述語論理」は「命題論理」よりも「難解」である。
令和５年８月１２日、毛利太。