「含意の定義」と「パースの法則」と「排中律」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　サＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（オ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（カ）　　　～～Ｑ　　　エオＲＡＡ
１　　　ウ　（キ）　　　　　Ｑ　　　カＤＮ
１　　　　　（ク）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　（１）　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　　４　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　４∨Ｉ
　　４　（６）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　５含意の定義
　３４　（７）～（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　３４＆Ｉ
　３　　（８）～～Ｐ　　　　　　　　　４ＤＮ
　３　　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８ＤＮ
　　　ア（ア）　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　１３９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　４　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　４∨Ｉ
　　４　（６）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　５含意の定義
　３４　（７）～（Ｐ→～Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　３４＆Ｉ
　３　　（８）～～Ｐ　　　　　　　　　　４ＤＮ
　３　　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　　８ＤＮ
　　　ア（ア）　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　　１３９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
『含意の定義』により、
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
① は「パースの法則（トートロジー）」であって、
② も「パースの法則（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１　　（１）　　　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　　（（～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１含意の定義
１　　（３）　（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　２含意の定義
１　　（４）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ　３含意の定義
　５　（５）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ）　　　Ａ
　５　（６）　　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｐ　　　５ド・モルガンの法則
　５　（７）　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　６＆Ｅ
　５　（８）　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ　９∨Ｉ
１　　（イ）　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ　１５８９ア∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）　　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｐ　　　　２３＆Ｉ
　２　（５）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｐ）　　　４ド・モルガンの法則
　２　（６）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　７（８）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　７∨Ｉ
１　　（９）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　１２６７８∨Ｅ
１　　（ア）　～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　９含意の定義
１　　（イ）　　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ア含意の定義
１　　（ウ）　　　（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　イ含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③　～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
②「パースの法則（トートロジー）」
③「排中律（トートロジー）」
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③　～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
③　　Ｐでないか、または、Ｐである。
に於いて、すなはち、
①「パースの法則」
②「パースの法則」
③「排中律」
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和５年８月１９日、毛利太。