「仮言命題（Ｐ→Ｑ：～Ｑ→～Ｐ）」の「意味」。

（01）
① ＰであるならばＱである。
② ＰであってＱでない。といふことはない。
③ ＰでないかＱである。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① Ｐ→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、次に示す、
（03）～（06）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である。
（03）
１　（１）Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ
２　（２）Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
２　（３）Ｐ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
２　（４）　　～Ｑ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（５）Ｑ　　　　　　　　　　　　　１３ＭＰＰ
１２（６）Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　２６ＲＡＡ
　　（８）（Ｐ→Ｑ）→～（Ｐ＆～Ｑ）　１７ＣＰ
（04）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ
２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
３　　（３）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
２３　（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆（Ｐ＆～Ｑ）　１４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｑ　　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｑ　　　　　　　　　　　　６ＤＮ
１　　（８）Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　２７ＣＰ
　　　（９）～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　　１８ＣＰ
（05）
１　（１）～（　Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　Ａ
２　（２）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　Ａ
３　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
３　（４）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　３ＶＩ
２３（５）～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
２　（６）　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
２　（７）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ
８　（８）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ
８　（９）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　８ＶＩ
２８（ア）～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
２　（イ）　　～Ｑ　　　　　　　　　　　８アＲＡＡ
２　（ウ）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　７イ＆Ｉ
１２（エ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆（Ｐ＆～Ｑ）　１ウ＆Ｉ
１　（オ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　２エＲＡＡ
１　（カ）　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　オＤＮ
　　（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）→（～Ｐ∨Ｑ）　１カＣＰ
（06）
１　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
３　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
２　（４）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
２３（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　　　　　　　３４＆Ｉ
３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　２５ＲＡＡ
７　（７）　　Ｑ　　　　　　　　　　　　Ａ
２　（８）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
２７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　７８＆Ｉ
７　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　２９ＲＡＡ
１　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　１３６７アＶＥ
　　（ウ）（～Ｐ∨Ｑ）→～（Ｐ＆～Ｑ）　１イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨Ｑ
すなはち、
① ＰであるならばＱである。
② ＰであってＱでない。といふことはない。
③ ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である。
然るに、
（08）
１（１）Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１（４）～Ｑ＆Ｐ　　　　　　　　　　２３＆Ｉ
　（５）（Ｐ＆～Ｑ）→（～Ｑ＆Ｐ）　１４ＣＰ
（09）
１（１）～Ｑ＆Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１（２）～Ｑ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（４）Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　２３＆Ｉ
　（５）（～Ｑ＆Ｐ）→（～Ｑ＆Ｐ）　１４ＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ＆～Ｑ
④ ～Ｑ＆Ｐ
② ＰであってＱでない。
④ ＱでなくてＰである。
に於いて、
②＝④ である。
ｃｆ.
交換法則（Commutative law）。
従って、
（10）により、
（11）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～（～Ｑ＆Ｐ）
② ＰであってＱでない。といふことはない。
④ ＱでなくてＰである。といふことはない。
に於いて、
②＝④ である。
然るに、
（04）により、
（12）
１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　　　　　　　　　Ａ
２　　（２）　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　Ａ
３　　（３）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
２３　（４）　　～Ｑ＆Ｐ　　　　　　　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（～Ｑ＆Ｐ）＆（～ＱＰ＆Ｐ）　１４＆Ｉ　
１２　（６）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　　　　　　　　　　　２６ＣＰ
　　　（８）～（～Ｑ＆Ｐ）→（～Ｑ→～Ｐ）　１７ＣＰ
然るに、
（03）により、
（13）
１　（１）～Ｑ→～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
２　（２）～Ｑ＆　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
２　（３）～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
２　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（５）　　　～Ｐ                    　１３ＭＰＰ
１２（６）Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）～（～Ｑ＆Ｐ）　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
　　（８）（～Ｑ→～Ｐ）→～（～Ｑ＆Ｐ）　１７ＣＰ
従って、
（12）（13）により、
（14）
④ ～（～Ｑ＆Ｐ）
⑤ ～Ｑ→～Ｐ　　
すなはち、
④ ＱでなくてＰである。といふことはない。
⑤ ＱでないならばＰでない。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（05）により、
（15）
１　（１）～（～Ｑ＆　Ｐ）　　　　　　　Ａ
２　（２）～（　Ｑ∨～Ｐ）　　　　　　　Ａ
３　（３）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ
３　（４）　　　Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　　３ＶＩ
２３（５）～（Ｑ∨～Ｐ）＆（Ｑ∨～Ｐ）　２４＆Ｉ
２　（６）　　～Ｑ　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
７　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
７　（８）　　　Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　　７ＶＩ
２７（９）～（Ｑ∨～Ｐ）＆（Ｑ∨～Ｐ）　２８＆Ｉ
２　（ア）　～～Ｐ　　　　　　　　　　　７９ＲＡＡ
２　（イ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　アＤＮ
２　（ウ）　　　　　　　　　～Ｑ＆Ｐ　　６イ＆Ｉ
１２（エ）～（～Ｑ＆Ｐ）＆（～Ｑ＆Ｐ）　１ウ＆Ｉ
１　（オ）～～（Ｑ∨～Ｐ）　　　　　　　２エＲＡＡ
１　（カ）　　（Ｑ∨～Ｐ）　　　　　　　オＤＮ
　　（キ）～（～Ｑ＆Ｐ）→（Ｑ∨～Ｐ）　１カＣＰ
然るに、
（06）により、
（16）
１　（１）　Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
２　（２）～Ｑ＆　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
３　（３）　Ｑ　　　　　　　　　　　　　Ａ
２　（４）～Ｑ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
２３（５）　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
３　（６）～（～Ｑ＆Ｐ）　　　　　　　　２５ＲＡＡ
７　（７）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
２　（８）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
２７（９）　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　　７８＆Ｉ
７　（ア）～（～Ｑ＆Ｐ）　　　　　　　　２９ＲＡＡ
１　（イ）～（～Ｑ＆Ｐ）　　　　　　　　１３６７ア
　　（ウ）（Ｑ∨～Ｐ）→～（～Ｑ＆Ｐ）　１イＣＰ
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ ～（～Ｑ＆Ｐ）
⑥ Ｑ∨～Ｐ
すなはち、
④ ＱでなくてＰである。といふことはない。
⑥ ＱであるかＰでない。
に於いて、
④＝⑥ である。
従って、
（07）（11）（14）（17）により、
（18）
① Ｐ→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ ～（～Ｑ＆Ｐ）
⑤ ～Ｑ→～Ｐ　
⑥ Ｑ∨～Ｐ　
すなはち、
① ＰであるならばＱである。
② ＰであってＱでない。といふことはない。
③ ＰでないかＱである。
④ ＱでなくてＰである。といふことはない。
⑤ ＱでないならばＰでない。
⑥ ＱであるかＰでない。
に於いて、
①＝②
　　②＝③（ド・モルガンの法則）
　　②＝④
　　　　④＝⑤
　　　　④＝⑥（ド・モルガンの法則）
∴
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
ｃｆ.
自然演繹法については、次の書物が勧められる。
□ E.J.レモン（竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳）『論理学初歩』（世界思想社、1973年）
（昭和堂入門選書、論理学の基礎、1994年、１８６頁）
自然演繹は、できるだけ私たちの日常の議論や数学の証明で行われる推論に近いようなシステムとして、ゲンツェンが編み出したものなのです。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３７頁）
然るに、
（19）
① Ｐ→Ｑ
⑤ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① は、⑤ の「対偶（Contraposition）」であって、
⑤ は、① の「対偶（Contraposition）」である。
（20）
① Ｐ→Ｑ
③ ～Ｐ∨Ｑ
⑤ ～Ｑ→～Ｐ　
⑥ Ｑ∨～Ｐ　
に於いて、
③と⑥ は、「含意の定義（Definition of implication）」である。
然るに、
（21）
③ 男性か日本人は、無料です。
といふのであれば、例へば、
③ チャーリー・ブラウン（男性）は、無料である。
従って、
（21）により、
（22）
③ 女性でないか日本人は、無料です。
といふのであれば、
③ チャーリー・ブラウン（男性であって女性ではない）は、無料である。
然るに、
（23）
③ 女性でないか日本人は、無料です。
といふのであれば、
③ チャーリー・ブラウンが、日本に帰化してゐたとしても、
③ チャーリー・ブラウンが、アメリカ人のままであったとしても、
いづれにせよ、
③ 女性ではない、
③ チャーリー・ブラウンは、無料である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
③ 女性でないか日本人は、無料です。
といふ場合に、
③ 女性でなければ、日本人であっても、日本人でなくても、無料である。
従って、
（24）により、
（25）
③ ＰでないかＱである。
に於いて、
③ Ｐでない。
のであれば、
③ Ｑである。にせよ、
③ Ｑでない。にせよ、
いづれにしても、
③ ＰでないかＱである。
といふ「命題」は、「正しい」。
然るに、
（18）により、
（26）
① ＰであるならばＱである。
③ ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
① ＰであるならばＱである（ＰでないかＱである）。
に於いて、
① Ｐでない。
のであれば、
① Ｑである。にせよ、
① Ｑでない。にせよ、
いづれにしても、
① ＰであるならばＱである（ＰでないかＱである）。
といふ「仮言命題」は、「正しい」。
従って、
（27）により、
（28）
① ＰであるならばＱである（ＰでないかＱである）。
といふことが、「真（本当）」であって、尚且つ、
① Ｐでない。
といふことが、「真（本当）」である場合には、
① Ｑである。ことは、「可能」であって、
① Ｑでない。ことも、「可能」である。
従って、
（28）により、
（29）
① ＰであるならばＱである（ＰでないかＱである）。
といふことが、「真（本当）」であって、尚且つ、
① Ｐでない。
といふことが、「真（本当）」である場合に、
① Ｑでない。
といふ風には、「断定」は、出来ない。
従って、
（29）により、
（30）
① ＰならばＱである。Ｐでない。故に、Ｑでない。
といふ「推論」は、「正しくはない」。
ｃｆ.
前件否定の誤謬（Fallacy of denying the antecedent）。
然るに、
（31）
⑥ ＱであるかＰでない。
に於いて、
⑥ Ｑである。
といふのであれば、
⑥ Ｐでない。　にせよ、
⑥ Ｐである。　にせよ、
いづれにしても、
⑥ ＱであるかＰでない。
といふ「命題」は、「正しい」。
ｃｆ.
「強選言」ではなく、「弱選言」。
然るに、
（18）により、
（32）
① ＰであるならばＱである。
⑥ ＱであるかＰでない。
に於いて、
①＝⑥ である。
従って、
（31）（32）により、
（33）
① ＰであるならばＱである（ＱであるかＰでない）。
に於いて、
① Ｑである。
といふのであれば、
① Ｐでない。にせよ、
① Ｐである。にせよ
いづれにしても、
① ＰであるならばＱである（ＱであるかＰでない）。
といふ「仮言命題」は、「正しい」。
従って、
（33）により、
（34）
① ＰであるならばＱである（ＱであるかＰでない）。
といふことが、「真（本当）」であって、尚且つ、
① Ｑである。
といふことが、「真（本当）」である場合には、
① Ｐでない。ことは、「可能」であって、
① Ｐである。ことも、「可能」である。
従って、
（34）により、
（35）
① ＰであるならばＱである（ＱであるかＰでない）。
といふことが、「真（本当）」であって、尚且つ、
① Ｑである。
といふことが、「真（本当）」である場合に、
① Ｐである。
といふ風に、「断定」は、出来ない。
従って、
（35）により、
（36）
① ＰならばＱである。Ｑである。故に、Ｐである。
といふ「推論」は、「正しくはない」。
ｃｆ.
後件肯定の誤謬（Affirming the consequent fallacy）。
従って、
（18）（30）（36）により、
（37）
① Ｐ→Ｑ
③ ～Ｐ∨Ｑ
⑥ Ｑ∨～Ｐ　
すなはち、
① ＰであるならばＱである。
③ ＰでないかＱである。
⑥ ＱであるかＰでない。
に於いて、
①＝③＝⑥
といふ「等式」が、「正しい」が故に、
③ ＰならばＱである。Ｐでない。故に、Ｑでない。
⑥ ＰならばＱである。Ｑである。故に、Ｐである。
といふ「推論」は、「正しくはない」。
然るに、
（38）
⑦（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
⑧（Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）
に於いて、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（39）
⑦（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
といふ「論理式」は、
⑦ Ｐならば、その時に限ってＱである。
といふ風に、「読むこと」が出来る。
従って、
（38）（39）により、
（40）
⑦ Ｐならば、その時に限ってＱである。Ｐでない。故に、Ｑでない。
⑧ Ｐならば、その時に限ってＱである。Ｑである。故に、Ｐである。
といふ「推論」は、「正しい」。
平成２９年０８月２３日、毛利太。