(01)
①(PとRが、同時に、本当である)といふことはない。
といふことは、
② PとRの、少なくとも一方は、ウソである。
といふことである。
従って、
(01)により、
(02)
①(PとRが、同時に、真である)といふことはない。
② PとRの、少なくとも一方は、偽である。
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
「記号」で書くと、
① ~(P& R)
② ~P∨~R
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(04)
① ~(P& R)
② ~P∨~R
に於いて、
① の Pに、
② を「代入(Substitution)」をすると、
③ ~{(~P∨~Q)&R}
然るに、
(05)
(ⅲ)
1 (1)~{(~P∨~Q)& R} A
1 (2) ~(~P∨~Q)∨~R 1ド・モルガンの法則
3 (3) ~(~P∨~Q) A
3 (4) P& Q 3ド・モルガンの法則
3 (5) (P& Q)∨~R 4∨I
6(6) ~R A
6(7) (P& Q)∨~R 6∨I
1 (8) (P& Q)∨~R 23567∨E
(ⅳ)
1 (1) (P& Q)∨~R A
2 (2) (P& Q) A
2 (3) ~(~P∨~Q) 2ド・モルガンの法則
2 (4) ~(~P∨~Q)∨~R 3∨I
5(5) ~R A
5(6) ~(~P∨~Q)∨~R 5∨I
1 (7) ~(~P∨~Q)∨~R 12456∨E
1 (8)~{(~P∨~Q)& R} 7ド・モルガンの法則
従って、
(05)により、
(06)
「ド・モルガンの法則」により、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④ (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(07)
(ⅲ)
1 (1)~{(~P∨~Q)& R} A
2 (2)~{( P& Q)∨~R} A
3 (3) ( P& Q) A
3 (4) ( P& Q)∨~R 3∨I
23 (5)~{( P& Q)∨~R}&
{( P& Q)∨~R} 24&I
2 (6) ~( P& Q) 35RAA
7 (7) ~(~P∨~Q) A
8 (8) ~P A
8 (9) ~P∨~Q 8∨I
78 (ア) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 79&I
7 (イ) ~~P 8アRAA
7 (ウ) P イDN
エ (エ) ~Q A
エ (オ) ~P∨~Q エ∨I
7 エ (カ) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 7オ&I
7 (キ) ~~Q エカRAA
7 (ク) Q キDN
7 (ケ) P& Q ウク&I
2 7 (コ) ~(P& Q)&
(P& Q) 6ケ&I
2 (サ)~~(~P∨~Q) 7コRAA
2 (シ) ~P∨~Q サDN
ス (ス) ~R A
ス (セ) ( P& Q)∨~R ス∨I
2 ス (ソ)~{( P& Q)∨~R}&
{( P& Q)∨~R} 2ス&I
2 (タ) ~~R スソRAA
2 (チ) R タDN
2 (ツ) (~P∨~Q)& R シチ&I
12 (テ)~{(~P∨~Q)& R}&
{(~P∨~Q)& R} 1ツ&I
1 (ト)~~{(P& Q)∨~R} 2テRAA
1 (ナ) (P& Q)∨~R トDN
(ⅳ)
1 (1) (P& Q)∨~R A
2 (2) (~P∨~Q)& R A
3 (3) P& Q A
2 (4) ~P∨~Q 2&E
3 (5) P 3&E
6 (6) ~P A
36 (7) P&~P 56&I
6 (8) ~(P& Q) 37RAA
3 (9) Q 3&E
ア (ア) ~Q A
3 ア (イ) Q&~Q 9ア&I
ア (ウ) ~(P& Q) 3イRAA
2 (エ) ~(P& Q) 468アウ∨E
オ (オ) ~R A
2 (カ) R 2&E
2 オ (キ) ~R&R オカ&I
2 (ク) ~~R オRAA
2 (ケ) R クDN
2 (コ) ~(P& Q)& R エケ&I
サ (サ) (P& Q) A
2 (シ) ~(P& Q) コ&E
2 サ (ス) (P&Q)&~(P&Q) サシ&I
サ (セ)~{(~P∨~Q)& R} 2スRAA
ソ(ソ) ~R A
2 (タ) R コ&E
2 ソ(チ) ~R&R ソタ&I
ソ(ツ)~{(~P∨~Q)& R} 2チRAA
1 (テ)~{(~P∨~Q)& R} 1サセソツ∨E
従って、
(07)により、
(08)
「ド・モルガンの法則」を用ひずとも、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④ (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
従って、
(05)~(08)により、
(09)
「ド・モルガンの法則(定理)」を用ひても、
「ド・モルガンの法則(定理)」を用ひなくとも、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④ (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(10)
「交換法則」により、
④ (P&Q)∨~R
⑤ ~R∨(P&Q)
に於いて、
④=⑤ である。
然るに、
(11)
「含意の定義」により、
④ (P&Q)∨~R
⑤ R→(P&Q)
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
③ ~{(~P∨~Q)&R}
④ R→(P&Q)
に於いて、
③=④ である。
(12)により。
(13)
いづれにせよ、
③{(Pでないか、または、Qでなくて)、その上、Rである}といふことはない。
④ Rであるならば、(Pであって、その上、Qである)。
といふ「日本語」に於いても、
③=④ でなければ、ならない。
令和03年07月17日、毛利太。
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