2021年7月17日土曜日

「ド・モルガンの法則」に対する「代入例」。

(01)
①(PとRが、同時に本当である)といふことはない
といふことは、
② PとRの、少なくとも一方はウソである
といふことである。
従って、
(01)により、
(02)
①(PとRが、同時に真であるといふことはない
② PとRの、少なくとも一方は偽である
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
「記号」で書くと、
① ~(P& R)
②  ~P∨~R
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(04)
① ~(P& R)
②  ~P∨~R
に於いて、
① の Pに、
② を「代入(Substitution)」をすると、
③ ~{(~P∨~Q)&R}
然るに、
(05)
(ⅲ)
1  (1)~{(~P∨~Q)& R} A
1  (2) ~(~P∨~Q)∨~R  1ド・モルガンの法則
 3 (3) ~(~P∨~Q) A
 3 (4)    P& Q      3ド・モルガンの法則
 3 (5)   (P& Q)∨~R  4∨I
  6(6)          ~R  A
  6(7)   (P& Q)∨~R  6∨I
1  (8)   (P& Q)∨~R  23567∨E
(ⅳ)
1  (1)   (P& Q)∨~R  A
 2 (2)   (P& Q)     A
 2 (3) ~(~P∨~Q)     2ド・モルガンの法則
 2 (4) ~(~P∨~Q)∨~R  3∨I
  5(5)          ~R  A
  5(6) ~(~P∨~Q)∨~R  5∨I
1  (7) ~(~P∨~Q)∨~R  12456∨E
1  (8)~{(~P∨~Q)& R} 7ド・モルガンの法則
従って、
(05)により、
(06)
ド・モルガンの法則」により、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④    (P& Q)∨~R 
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(07)
(ⅲ)
1       (1)~{(~P∨~Q)& R}  A
 2      (2)~{( P& Q)∨~R}  A
  3     (3)  ( P& Q)      A
  3     (4)  ( P& Q)∨~R   3∨I
 23     (5)~{( P& Q)∨~R}&
            {( P& Q)∨~R}  24&I
 2      (6) ~( P& Q)      35RAA
   7    (7) ~(~P∨~Q)      A
    8   (8)   ~P          A
    8   (9)   ~P∨~Q       8∨I
   78   (ア) ~(~P∨~Q)&
             (~P∨~Q)      79&I
   7    (イ)  ~~P          8アRAA
   7    (ウ)    P          イDN
     エ  (エ)      ~Q       A
     エ  (オ)   ~P∨~Q       エ∨I
   7 エ  (カ) ~(~P∨~Q)&
             (~P∨~Q)      7オ&I
   7    (キ)     ~~Q       エカRAA
   7    (ク)       Q       キDN
   7    (ケ)    P& Q       ウク&I
 2 7    (コ)  ~(P& Q)&
              (P& Q)      6ケ&I
 2      (サ)~~(~P∨~Q)      7コRAA
 2      (シ)   ~P∨~Q       サDN
      ス (ス)          ~R   A
      ス (セ)  ( P& Q)∨~R   ス∨I
 2    ス (ソ)~{( P& Q)∨~R}&
            {( P& Q)∨~R}  2ス&I
 2      (タ)         ~~R   スソRAA
 2      (チ)           R   タDN
 2      (ツ)  (~P∨~Q)& R   シチ&I
12      (テ)~{(~P∨~Q)& R}&
            {(~P∨~Q)& R}  1ツ&I
1       (ト)~~{(P& Q)∨~R}  2テRAA
1       (ナ)   (P& Q)∨~R   トDN
(ⅳ)
1       (1)   (P& Q)∨~R  A
 2      (2)  (~P∨~Q)& R  A
  3     (3)    P& Q      A
 2      (4)   ~P∨~Q      2&E
  3     (5)    P         3&E
   6    (6)   ~P         A
  36    (7)    P&~P      56&I
   6    (8)  ~(P& Q)     37RAA
  3     (9)       Q      3&E
    ア   (ア)      ~Q      A
  3 ア   (イ)    Q&~Q      9ア&I
    ア   (ウ)  ~(P& Q)     3イRAA
 2      (エ)  ~(P& Q)     468アウ∨E
     オ  (オ)          ~R  A
 2      (カ)           R  2&E
 2   オ  (キ)        ~R&R  オカ&I
 2      (ク)         ~~R  オRAA
 2      (ケ)           R  クDN
 2      (コ)  ~(P& Q)& R  エケ&I
      サ (サ)   (P& Q)     A
 2      (シ)  ~(P& Q)     コ&E
 2    サ (ス) (P&Q)&~(P&Q) サシ&I
      サ (セ)~{(~P∨~Q)& R} 2スRAA
       ソ(ソ)          ~R  A
 2      (タ)           R  コ&E
 2     ソ(チ)        ~R&R  ソタ&I
       ソ(ツ)~{(~P∨~Q)& R} 2チRAA
1       (テ)~{(~P∨~Q)& R} 1サセソツ∨E
従って、
(07)により、
(08)
ド・モルガンの法則」を用ひずとも、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④    (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
従って、
(05)~(08)により、
(09)
ド・モルガンの法則(定理)」を用ひても、
ド・モルガンの法則(定理)」を用ひなくとも、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④    (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(10)
「交換法則」により、
④ (P&Q)∨~R
⑤ ~R∨(P&Q)
に於いて、
④=⑤ である。
然るに、
(11)
「含意の定義」により、
④ (P&Q)∨~R
⑤  R→(P&Q)
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
③ ~{(~P∨~Q)&R}
④     R→(P&Q)
に於いて、
③=④ である。
(12)により。
(13)
いづれにせよ、
③{(Pでないか、または、Qでなくて)、その上、Rである}といふことはない。
④  Rであるならば、(Pであって、その上、Qである)。
といふ「日本語」に於いても、
③=④ でなければ、ならない。
令和03年07月17日、毛利太。

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