├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）は、「恒真式（トートロジー）」である。

（01）
５　原始的な規則（Primitive rules）あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも用いて、証明せよ。
とはせずに、
５　原始的な規則（Primitive rules）のみを用いて、次の連式を証明せよ。
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁改）
〔解答〕
１　　　　　　　　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　　　Ａ
　２　　　　　　　（２）　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　２∨Ｉ
１２　　　　　　　（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　　　１３＆Ｉ
１　　　　　　　　（５）　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
１　　　　　　　　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　５∨Ｉ
１　　　　　　　　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　　　１６＆Ｉ
　　　　　　　　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　　　１７ＲＡＡ
　　　　　　　　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　８ＤＮ
　　ア　　　　　　（ア）　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　ア　　　　　　（イ）　　　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　　ア∨Ｉ
　　　ウ　　　　　（ウ）　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　ウ　　　　　（エ）　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　　　　オ　　　　（オ）　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　　　　カ　　　（カ）　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　オ　　　　（キ）　　　　　Ｐ　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　オカ　　　（ク）　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　カキ＆Ｉ
　　　　　カ　　　（ケ）　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　オクＲＡＡ
　　　　　　コ　　（コ）　　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ　　　　（サ）　　　　　　　～Ｑ　　　オ＆Ｅ
　　　　オ　コ　　（シ）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　コサ＆Ｉ
　　　　　　コ　　（ス）　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　オシＲＡＡ
　　　ウ　　　　　（セ）　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　エカケコス∨Ｅ
　　　　　　　ソ　（ソ）　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　タ（タ）　　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　　　　ソタ（チ）　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　ソタ＆Ｉ
　　　ウ　　　ソタ（ツ）　　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　カチ＆Ｉ
　　　ウ　　　ソ　（テ）　　　　　　～～Ｑ　　　タツＲＡＡ
　　　ウ　　　ソ　（ト）　　　　　　　　Ｑ　　　テＤＮ
　　　ウ　　　　　（ナ）　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　ソトＣＰ
　　　ウ　　　　　（ヌ）　　　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　 ナ∨Ｉ
　　　　　　　　　（ネ）　　　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　　９アイウヌ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１）　Ｐ∨（　Ｐ→Ｑ）　　Ａ
　２　　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）　Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）　　２∨Ｉ
　　４　　（４）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　　　５　（５）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　　　６（６）　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　６（７）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
　　　５６（８）　　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　５７＆Ｉ
　　　５　（９）　　　～～Ｐ　　　　　６８ＲＡＡ
　　　５　（ア）　　　　　Ｐ　　　　　９ＤＮ
　　４５　（イ）　　　　　　　Ｑ　　　４アＭＰＰ
　　４５　（ウ）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イ∨Ｉ
　　４５　（エ）　　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　５ウ＆Ｉ
　　４　　（オ）　～～（～Ｐ∨Ｑ）　　５エＲＡＡ
　　４　　（カ）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　オＤＮ
　　４　　（キ）　Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）　　∨Ｉ
１　　　　（ク）　Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）　　１２４３キ∨Ｅ
１　　　　（ケ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　　　ク結合法則
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　　　Ａ
１　　　　　　　（２）　Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）　　１結合法則
　２　　　　　　（３）　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　（４）　Ｐ∨（　Ｐ→Ｑ）　　３∨Ｉ
　　５　　　　　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　　　６　　　　（６）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　　　７　　　（７）　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　６　　　　（８）　　　　　Ｐ　　　　　６＆Ｅ
　　　６７　　　（９）　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　　７　　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　６９ＲＡＡ
　　　　　イ　　（イ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　６　　　　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　６＆Ｅ
　　　６　イ　　（エ）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　イウ＆Ｉ
　　　　　イ　　（オ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　６エＲＡＡ
　　５　　　　　（カ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　５７アイオ∨Ｅ
　　　　　　キ　（キ）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　　ク（ク）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　　　キク（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　キク＆Ｉ
　　５　　　キク（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　カケ＆Ｉ
　　５　　　キ　（サ）　　　　　～～Ｑ　　　クコＲＡＡ
　　５　　　キ　（シ）　　　　　　　Ｑ　　　サＤＮ
　　５　　　　　（ス）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　キシＣＰ
　　５　　　　　（セ）　Ｐ∨（　Ｐ→Ｑ）　　ス∨Ｉ
１　　　　　　　（ソ）　Ｐ∨（　Ｐ→Ｑ）　　１２４５セ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
①　Ｐ∨（Ｐ→　Ｑ）
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
①　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
①　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
①　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
Ｑの「真偽」に拘はらず、
①と② は、「恒に、真」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝バカボンのパパは天才である。
Ｑ＝太陽は西から昇る。
として、
① バカボンのパパは天才であるか、または（バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る）。
②（バカボンのパパは天才であるか、または、バカボンのパパは天才でないか）、または、太陽は西から昇る。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
③ 太陽が、西から昇っても、①と② は「真」であり、
④ 太陽が、東から昇っても、②と① は「真」である。
令和０３年０７月０９日、毛利太。