「冪等律」と「パースの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（４）　Ｐ　　　　　　１２２３３∨Ｅ
　　　（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
（ⅱ）
　　１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
　　１（２）Ｐ∨Ｐ　　　　　１∨Ｉ
　　　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）　１２ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｐ）⇔Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、「冪等律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
②（（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　　　（１）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
　２　　（３）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義
　　４　（４）～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　Ａ
　　４　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　４含意の定義
　　４　（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　　４　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　６∨Ｉ
　　　８（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　８（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　８∨Ｉ
　２　　（ア）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　３４７８９∨Ｅ
１２　　（イ）　　　　　　　　　　　Ｐ　１アＭＰＰ
１　　　（ウ）（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　２イＣＰ
（ⅳ）
１　　　（１）（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　　３　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　３ド・モルガンの法則
　　３　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　６（７）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　６∨Ｉ
　２　　（８）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　２３５６７∨Ｅ
　２　　（９）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　８含意の定義
　２　　（ア）　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　９含意の定義
１２　　（イ）　　　　　　　　　　　Ｐ　１アＭＰＰ
１　　　（ウ）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　２イＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
②（（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
②（（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
①　（Ｐ∨　Ｐ）⇔Ｐ
②（（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ である。
従って、
（09）により、
（10）
Ｐ＝奇数である。
Ｑ＝素数である。
として、
①　（奇数であるか、　　　　　　　　または、奇数である）ならば、奇数である。
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
④（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
⑤（（奇数であるならば、素数でない）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ である。
然るに、
（11）
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
（ウィキペディア）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①　（奇数であるか、　　　　　　　　または、奇数である）ならば、奇数である。
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
④（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
⑤（（奇数であるならば、素数でない）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ であって、
④ は、「パースの法則」であって、
⑤ も、「パースの法則」である。
従って、
（12）により、
（13）
④（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
⑤（（奇数であるならば、素数でない）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
といふ「パースの法則」は、
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
といふ「恒真式（トートロジー）」に、「等しい」。
然るに、
（14）
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
といふことは、
①　（奇数であるか、　　　　　　　　または、奇数である）ならば、奇数である。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
④（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、
①　（Ｐ∨Ｐ）⇔Ｐ
といふ「冪等律」に、由来する。
令和０３年０７月２３日、毛利太。