（01）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理をでも用いて、証明せよ。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（02）
〔解答例〕
（ａ）
（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ（排中律）
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６）Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６７∨Ｅ
（ｂ）
１ （１）Ｑ∨～Ｑ Ａ（排中律）
２ （２）Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨I
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １３６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「３つの連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ｃ）
１ （１）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
２ （８）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２３５６７∨Ｅ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８含意の定義
２ （ア） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ９含意の定義
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
（ｄ）
１ （１）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （３）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
２ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ３４７８９∨Ｅ
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
② （Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「４つの連式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ であって、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝男性である。
として、
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
④（（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、
③＝④ であって、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」である。
然るに、
（09）
④（（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」であるとしても、
④ は、「普通の命題」であって、尚且つ、
④ は、③ に、「等しい」。
従って、
（05）（10）により、
（11）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
といふことからすれば、「パースの法則」は、「普通の、恒真式（トートロジー）」である。
令和０３年０７月２０日、毛利太。
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