（01）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛亀ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（亀ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
２ （５） 亀ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ２ＵＥ
６ （６） 亀ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 亀ａ ６＆Ｅ
２ ６ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５７ＭＰＰ
９ （９） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
９ （ア） ～長ｂ ９＆Ｅ
６ （イ） 象ａ ６＆Ｅ
６ （ウ） ～～象ａ イＤＮ
１ ６ （エ） ～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）｝ ４ウＭＴＴ
１ ６ （オ） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ） エ、ド・モルガンの法則
１ ６ （カ） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） オ＆Ｅ
１ ６ （キ） ∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ） カ量化子の関係
ク（ク） ～（鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ク（ケ） ～（～鼻ｂａ∨～長ｂ） ク含意の定義
ク（コ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ ケ、ド・モルガンの法則
ク（サ） 長ｂ コ＆Ｅ
９ク（シ） ～長ｂ＆長ｂ アサ＆Ｉ
１ ６９ （ス） ～長ｂ＆長ｂ キクシＥＥ
１２ ６ （セ） ～長ｂ＆長ｂ ８９スＥＥ
１２３ （ソ） ～長ｂ＆長ｂ ３６セＥＥ
１２ （タ）～∃ｘ（亀ｘ＆象ｘ） ３ソＲＡＡ
１２ （チ）∀ｘ～（亀ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
１２ （ツ） ～（亀ａ＆象ａ） チＵＥ
１２ （テ） ～亀ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
１２ （ト） 亀ａ→～象ａ テ含意の定義
１２ （ナ）∀ｘ（亀ｘ→～象ｘ） トＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛亀ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（亀ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならばｙは長くない）か、または、あるｚについて（ｚがｘの鼻ではなくて長い）ならば、ｘは象ではない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが亀であるならば、あるｙは（ｘの鼻であり、ｙは長くない）｝。 従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが亀であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
（ⅱ）亀の鼻は長くない。従って、
（ⅲ）亀は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（04）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆ ∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆ ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
２ ６ （８） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆ ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （９） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ８＆Ｅ
２ ６ （ア） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８＆Ｅ
イ（イ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
２ ６ （ウ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ アＵＥ
イ（エ） 耳ｂａ イ＆Ｅ
２ ６イ（オ） ～鼻ｂａ ウエＭＰＰ
イ（カ） 長ｂ イ＆Ｅ
２ ６イ（キ） ～鼻ｂａ＆長ｂ オカ＆Ｉ
２ ６イ（ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ） キＥＩ
２ ６ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ） ９イクＥＥ
２ ６ （コ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ） ケ∨Ｉ
１２ ６ （サ） ～象ａ ４コＭＰＰ
１２ ６ （シ） 象ａ ６＆Ｅ
１２ ６ （ス） 象ａ＆～象ａ サシ＆Ｉ
１２３ （セ） 象ａ＆～象ａ ３６スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆ ∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならばｙは長くない）か、または、あるｚについて（ｚがｘの鼻ではなくて長い）ならば、ｘは象ではない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない）｝。 従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。 従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
（ⅰ）鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
（ⅱ）亀の鼻は長くないし、
（ⅲ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。 従って、
（ⅳ）亀は象ではなく、兎も象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）亀の鼻は長くないし、
（ⅲ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅳ）亀は象ではなく、兎も象ではない。
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
に於いて、
①＝② であるに、違ひない。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｂ） Ａ
４ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
４ （５） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
４ （６） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ５含意の定義
４ （７） ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ６ド・モルガンの法則
４ （８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ７ＵＩ
４ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８量化子の関係
４ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９∨Ｉ
５ （イ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
ウ（ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ウ（エ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ウ、ド・モルガンの法則
ウ（オ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） エ含意の定義
ウ（カ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） オＥＩ
ウ（キ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カ量化子の関係
ウ（ク） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ∨Ｉ
３ （ケ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３４アウク∨Ｅ
３ （コ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ケ、ド・モルガンの法則
１３ （サ） ～象ａ ２コＲＡＡ
１ （シ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｙ）→～象ａ ３サＣＰ
１ （ス）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝ シＵＩ
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
３ （４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｙ）｝ ２４ＭＴＴ
１３ （６） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｙ） ５ド・モルガンの法則
１３ （７） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６＆Ｅ
１３ （８） ∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ） ７量化子の関係
９（９） ～（鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
９（ア） ～（～鼻ｂａ∨～長ｂ） ９含意の定義
９（イ） （鼻ｂａ＆ 長ｂ） ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） イＥＩ
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８９ウＥＥ
１３ （オ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｙ） ６＆Ｅ
１３ （カ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｙ） オ量化子の関係
１３ （キ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） カＵＥ
１３ （ク） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ キ、ド・モルガンの法則
１３ （ケ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ク含意の定義
１３ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｙ） ケＵＩ
１３ （サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エコ＆Ｉ
１ （シ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３サＣＰ
１ （ス）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ シＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
④ すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならばｙは長くない）か、または、あるｚについて（ｚがｘの鼻ではなくて長い）ならば、ｘは象ではない｝。
に於いて、
③＝④ は、「対偶」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① 象は鼻が長い。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
といふ「意味」であって、
①＝② すなはち、
③＝④ は、「対偶」である。
令和０４年０８月１０日、毛利太。
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