① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻も長い。
④ 象が鼻が長い。
という「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝｝。
という「述語論理式」に「対応」する。
然るに、
（02）
① 象は鼻は長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘ鼻であって、長い）｝。
において、
①＝②＝③ である。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
１ ６ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
１ ６ （ケ） ～鼻ｂａ→～長ｂ キＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ オ（サ） ～鼻ｂａ カコＭＰＰ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３ （７） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６量化子の関係
８（８） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
８（９） ～（ 鼻ｃａ∨～長ｃ） ８含意の定義
８（ア） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ ア、ド・モルガンの法則
８（イ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） イＥＩ
１３ （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３８ＥＥ
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５ウ＆Ｉ
１ （オ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３エＣＰ
１ （カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ カＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４＆Ｅ
７（７） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ Ａ
７（８） ～（ 鼻ｃａ∨～長ｃ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９ＥＩ
１３ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７イＥＥ
１３ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５ウ＆Ｉ
１ （オ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ オＵＩ
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 象は鼻も長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）ものの、［すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）］というわけではない｝。
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）ものの、あるｚは（ｘの鼻ではないが、長い）｝。
において、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
ｃｆ.
マンモス象は、鼻だけでなく、牙も長い。
然るに、
（07）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］→象ａ １ＵＥ
１ （４） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］→象ａ ３＆Ｅ
２ （５） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ Ａ
２６ （７） ～象ａ ５６ＭＰＰ
１２６ （８） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ４７ＭＴＴ
１２６ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８ド・モルガンの法則
１２６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９含意の定義
イ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１２６イ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） アイＭＰＰ
１２６イ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ量化子の関係
オ（オ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
オ（カ） ～（ 鼻ｃａ∨～長ｃ） オ含意の定義
オ（キ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ カ、ド・モルガンの法則
オ（ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キＥＩ
１２６イ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エオクＥＥ
１２６ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） イケＣＰ
１２ （サ） 兎ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）］ ６コＣＰ
１２ （シ）∀ｘ｛兎ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］｝ サＵＩ
従って、
（01）（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛兎ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］｝。
という「推論」、すなわち、
（ⅰ）象が鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではない。 従って、
（ⅲ）兎の鼻が長いならば、鼻以外も長い。
という「推論」は、「妥当」である。
ｃｆ.
令和７年６月２５日、毛利太。
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