「鼻は象は長い、鼻は象が長い、鼻は象も長い、鼻が象が長い」の「述語論理」。

（01）
① 鼻は象は長い。
② 鼻は象が長い。
③ 鼻は象も長い。
④ 鼻が象が長い。
という「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆　　（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ］｝。
④ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ＆［～鼻ｘｙ＆長ｘ→～象ｙ］｝。
という「述語論理式」に、「相当」する。
ｃｆ.
① 鼻は象は長い。
② 鼻は象は長く、　象以外の鼻は長くない。
③ 鼻は象は長く、（象以外の鼻は長くはない）というわけではない。
④ 鼻は象は長く、　象以外の鼻は長くはなく、鼻以外（例えば、耳）が長いならば、象ではない。
然るに、
（02）
① 鼻は象は長い。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝
③ すべてのｘと（あるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長い｝。
において、
①＝②＝③ である。
然るに、
（03）
１　　　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　Ａ
１　　　　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝　１ＵＥ
　３　　　　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ　　Ａ
　３　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ　　３＆Ｅ
　　５　　　　　（５）　　∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　　　　（６）　　　　　（兎ｂ→～象ｂ）＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　５　　　　　（７）　　　　　　兎ｂ→～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　８　　　　（８）　　　　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５８　　　　（９）　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７８ＭＰＰ
　　５　　　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　　イ　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５８イ　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　９イ＆Ｉ
　３５８イ　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　４ウＭＰＰ
　３５８イ　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　イエ＆Ｉ
　３５８イ　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　オＥＩ
　３５８　　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　アイカＥＥ
　３５　　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　８キＣＰ
１　５　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　２３クＥＥ
　　　　　コ　　（コ）　　　　　　　　　∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→　長ｘ）｝　　　　　Ａ
　　　　　　サ　（サ）　　　　　　　　　　　　兎ｂ＆∀ｘ（鼻ｘｂ→　長ｘ）　　　　　　Ａ
　　　　　　サ　（シ）　　　　　　　　　　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　シ＆Ｅ
１　５　　　サ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　ケシＭＰＰ
　　　　　　サ　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ（鼻ｘｂ→　長ｘ）　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　Ａ
　　　　　　サ　（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→　長ａ　　　　　　　セＵＥ
　　　　　　　ソ（チ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　ソ＆Ｅ
　　　　　　サソ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　タチＭＰＰ
　　　　　　　ソ（テ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　ソ＆Ｅ
　　　　　　サソ（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆～長ａ　　　　　　　ツテ＆Ｉ
１　　５　　サ　（ナ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆～長ａ　　　　　　　サソトＥＥ
１　　５　コ　　（ニ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆～長ａ　　　　　　　コサナＥＥ
１　　５　　　　（ヌ）　　　　　　　　～∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→　長ｘ）｝　　　　　コニＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ）　　∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）　～∃ｙ｛　兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ）　　　　すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ）　　　　　　　　　あるｙは｛　兎であって、（ｘがｙの鼻ならば、ｘは長い）｝という、そのようなｙは存在しない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長い。　　　　　　　　　　然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
といふ『推論』は「妥当」である。
（05）
（ⅲ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ］｝　Ａ
１　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆～［（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ］｝　１ＵＥ
　３（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆～［（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ］　　Ａ
　３（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ］　　３＆Ｅ
　３（６）　　　　　　　　　　　　　　　　～［～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ］　　５含意の定義
　３（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆　長ａ　　　６ド・モルガンの法則
　３（８）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆　［（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆　長ａ］　　４７＆Ｉ
　３（９）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆　［（～象ｙ＆鼻ａｙ）＆　長ａ］｝　８ＥＩ
１　（ア）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆　［（～象ｙ＆鼻ａｙ）＆　長ａ］｝　１３９ＥＥ
１　（イ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆　［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）＆　長ｘ］｝　アＵＩ
（〃）
１　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆　［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）＆　長ｘ］｝　Ａ
１　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆　［（～象ｙ＆鼻ａｙ）＆　長ａ］｝　１ＵＥ
　３（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆　［（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆　長ａ］　　Ａ
　３（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　［（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆　長ａ］　　３＆Ｅ
　３（６）　　　　　　　　　　　　　　　　～［～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ］　　５ド・モルガンの法則
　３（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ］　　６含意の定義
　３（８）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆～［（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ］　　４６＆Ｅ
　３（９）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆～［（～象ｙ＆鼻ａｙ）＆　長ａ］｝　８ＥＩ
１　（ア）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆～［（～象ｙ＆鼻ａｙ）＆　長ａ］｝　２３９ＥＥ
１　（イ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）＆　長ｘ］｝　アＵＩ
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 鼻は象も長い。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ］｝。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆　［（～象ｙ＆鼻ｘｙ）＆　長ｘ］｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であってｙが象である）ならば、ｘは長く、［（ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない］というわけではない｝。
⑤ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であってｙが象である）ならば、ｘは長く、［（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であって）、　　ｘは長い　　］　　　　　　　　　｝。
において、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（07）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ＆［～鼻ｘｙ＆長ｘ→～象ｙ］｝　Ａ
　２　　　（２）∀ｘ∃ｙ｛（兎ｙ＆耳ｘｙ）→（～鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（３）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ＆［～鼻ａｙ＆長ａ→～象ｙ］｝　１ＵＥ
　　４　　（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ＆［～鼻ａｂ＆長ａ→～象ｂ］　　Ａ
　　４　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ＆長ａ→～象ｂ　　　４＆Ｅ
　２　　　（６）　　∃ｙ｛（兎ｙ＆耳ａｙ）→（～鼻ａｙ＆長ａ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　７　（７）　　　　　（兎ｂ＆耳ａｂ）→（～鼻ａｙ＆長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　８（８）　　　　　（兎ｂ＆耳ａｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７８（９）　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ａｙ＆長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７９ＭＰＰ
　　４７８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　５９ＭＰＰ
　　　　８（イ）　　　　　　　　　耳ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　４７８（ウ）　　　　　～象ｂ＆耳ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
　　４７　（エ）　　　　　（兎ｂ＆耳ａｂ）→（～象ｂ＆耳ａｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８ウＣＰ
　２４　　（オ）　　　　　（兎ｂ＆耳ａｂ）→（～象ｂ＆耳ａｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６７エＥＥ
１２　　　（カ）　　　　　（兎ｂ＆耳ａｂ）→（～象ｂ＆耳ａｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３４オＥＥ
１２　　　（キ）　　∃ｙ｛（兎ｙ＆耳ａｙ）→（～象ｙ＆耳ａｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カＥＩ
１２　　　（ク）∀ｘ∃ｙ｛（兎ｙ＆耳ｘｙ）→（～象ｙ＆耳ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ＆［～鼻ｘｙ＆長ｘ→～象ｙ］｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ∃ｙ｛（兎ｙ＆耳ｘｙ）→（～鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ∃ｙ｛（兎ｙ＆耳ｘｙ）→（～象ｙ＆耳ｘｙ）｝。
という「推論」、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘと、あるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象がでなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くはなく、［ｘがｙの鼻ではなくて、ｘが長いならば、ｙは象ではない］｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘと、あるｙについて｛（ｙが兎であって、ｘがｙの耳である）ならば、（ｘはｙの鼻ではなくて、長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘと、あるｙについて｛（ｙが兎であって、ｘがｙの耳である）ならば、（ｙは象ではなくて、ｘはｙの耳である）。
という「推論」、すなわち、
（ⅰ）鼻が象が長い。　　　　　　　然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが長い。　従って、
（ⅲ）兎の耳は象の耳ではない。
という「推論」は、「妥当」である。
令和７年６月２６日、毛利太。