「象の（が）鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
①｛象、机、花｝
であるならば、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外（机、花）は動物ではない。
然るに、
（02）
①｛象、兎、馬｝
であるならば、
① 象が動物である。とは、言へない。
② 動物は象である。とは、言へない。
③ 象以外（兎、馬）は動物ではない。とは、言へない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
① 象が動物である。
といふのであれば、
① 象は動物である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
① 象は動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② 象が動物である。⇔
② 象は動物であり、動物は象である。⇔
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆動物ｘ→象ｘ）⇔
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが動物であるならば、ｘは象である）。
然るに、
（08）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　カクＭＰＰ
１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ
１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ
１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ
　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。　　　然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
③ 象は鼻が長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
従って、
（06）（07）（11）により、
（12）
④ 象が鼻が長い。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　 ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→象ｘ｝⇔
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くないならば、ｘは象である｝。
然るに、
（13）
④ Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ
の「略号」が、
④ Ａ⇔Ｂ
である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
④ 象が鼻が長い。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くないならば、ｘは象である｝。
然るに、
（15）
｛象の耳、兎の耳｝であれば、
① 兎の耳が長い。
② 兎が耳が長い。
（16）
｛象の鼻、兎の鼻｝であれば、
① 象の鼻が長い。
② 象が鼻が長い。
従って、
（14）（16）により、
（17）
④ 象の鼻が長い。⇔
④ 象が鼻が長い。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（11）（12）により、
（18）
③ 象は鼻が長い。
といふ「命題」に対して、
③ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→象ｘ
といふ「命題関数」を「追加」すると、
④ 象が鼻が長い。
といふ「命題」になる。
然るに、
（19）
前提を追加しても結論は不変でよい。結論は前提が含むものだけを導出するのであるから、新前提を加えても、これらから新結論を引き出す必要はないからである。
（岩波全書、論理学入門、1979年、１５６頁）
従って、
（10）（18）（19）により、
（20）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」が、「妥当」であるが故に、
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」も、「妥当」である。
然るに、
（21）
象は鼻が長い 形容詞節論
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2015.2.11
「象は鼻が長い。」という文の構造について、昔から議論が交わされています。
「象は」と「鼻が」という二つの主語相当の句の役割を、文法的にどのように説明すべきかについて意見が集約していません。
「象は」が主語で、「鼻が長い」が述部で、述部の中に主語、述語を含む文章があるので、複文であると通常は説明されています。
これに対し、それでは構造の説明が不十分である。「象は」は、主語ではないと説明する人たちもいます。
　私は、「象は」ではじめた文章は、「何々です」という述部を想定した文章なので、「象は」は、主語だと思っています。
「象は鼻が長い動物です。」と、「動物」という名詞を追加してみましょう。
このとき、「象は動物です。」という主文において、「象は」は、主語の役割を果たしています。
「鼻が長い」という文は、「動物」を説明する形容詞節です。
　ですから、以下のように考えればいいのではないでしょうか。
象は大きい。　　　　　述部は、形容詞
象は大きい動物です。　述部は、形容詞+名詞
象は鼻が長い動物です　述部は、形容詞節+名詞
象は鼻が長い　　　　　述部は、形容詞節
この説は、一般に認められるかどうか、まだわかりません。
（象は鼻が長い think0298 - ゆっくり考える think0298）
然るに、
（21）に関して、
（22）
私も、概ね、さう思ひます。
（23）
① 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② 象は鼻が長い  ≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
であるため、両方とも、
① 象は≡∀ｘ｛象ｘ→
② 象は≡∀ｘ｛象ｘ→
に関しては、「共通」です。
従って、
（23）により、
（24）
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
に於いて、
①「象は」が「主語」であるならば、
②「象は」も「主語」である。
と、私も、思ひます。
令和０３年０５月０８日、毛利太。

「象が（は）動物である。」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）　　　象ａ⇔動ａ　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→動ａ＆　動ａ→象ａ　　　２Ｄｆ.⇔
１　　（４）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　動ａ→象ａ　　　３＆Ｅ
　６　（６）　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　Ａ
　　７（７）　　　　　　　　　　動ａ　　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　５７ＭＰＰ
１６７（９）　　　　　　　　　～象ａ＆象ａ　　　６８＆Ｉ
１６　（ア）　　　　　　　　　～動ａ　　　　　　７９ＲＡＡ
１　　（イ）　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　６アＣＰ
１　　（ウ）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　４イ＆Ｉ
１　　（エ）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　ウＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　　　　　動ａ　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　　　　　～動ａ　　４６ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　動ａ＆～動ａ　　５７＆Ｉ
１５　（９）　　　　　　　　～～象ａ　　　　　　６８ＲＡＡ
１５　（ア）　　　　　　　　　　象ａ　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　　　　　　　　　　動ａ→象ａ　　　５アＣＰ
１　　（ウ）　　　象ａ→動ａ＆　動ａ→象ａ　　　３イ＆Ｉ
１　　（エ）　　　象ａ⇔動ａ　　　　　　　　　　ウＤｆ.⇔
１　　（オ）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）　　　　　　　　　エＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　　　　　Ａ
１（２）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　　　　　１ＵＥ
１（３）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　　　　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　　　　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　４６＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　４ＵＥ
１（６）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　　　　　３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　　　　　６ＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
（05）
（ⅲ）
１　（１）　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　Ａ
１　（２）　　　　～象ａ→～動ａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　～象ａ＆　動ａ　　Ａ
　３（４）　　　　～象ａ　　　　　　３＆Ｅ
１３（５）　　　　　　　　～動ａ　　２４ＭＰＰ
　３（６）　　　　　　　　　動ａ　　３＆Ｅ
１３（７）　　　　　～動ａ＆動ａ　　５６＆Ｉ
１　（８）　　～（～象ａ＆　動ａ）　３ＲＡＡ
１　（９）∀ｘ～（～象ｘ＆　動ｘ）　８ＵＩ
１　（ア）～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）　９量化子の関係
（ⅳ）
１　　（１）～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）　　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（～象ｘ＆　動ｘ）　　１量化子の関係
１　　（３）　　～（～象ａ＆　動ａ）　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　～象ａ　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　　動ａ　　　Ａ
　４５（６）　　　　～象ａ＆　動ａ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）　　～（～象ａ＆　動ａ）＆
　　　　　　　　　（～象ａ＆　動ａ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　　　～動ａ　　　５７ＲＡＡ
１　　（９）　　　　～象ａ→～動ａ　　　４８ＣＰ
１　　（ア）　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　　９ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
③ 　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ （象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象が動物である。」
（β）⇔「象が動物である。」とは、言へない。
然るに、
（10）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象以外（机、椅子）は動物ではない。」
（β）⇔「象以外（兎、河馬）は動物ではない。」とは、言へない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（11）により、
（12）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆  ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
といふ「述語論理式」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に、「等しい」。
然るに、
（13）
「現実」には、
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
といふことはなく、
⑤ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在する。
従って、
（13）により、
（14）
「現実」には、
⑤ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動ｘ）⇔
⑤ 象は動物であるが、象以外にも、動物は存在する。
従って、
（14）により、
（15）
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」が無い。
然るに、
（16）
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、存在しない。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）　　すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、ｘは動物であって馬であり、尚且つ、すべてのｙについて、ｙが象以外の動物であるならば、ｘはｙよりも大きい）｝。然るに、
（ⅱ）　　すべてのｙについて（ｙが馬ならば、ｙは象以外の動物である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であって、ｙも動物であって、ｘはｙよりも大きい）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝　Ａ
　２　（２）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（〃）すべてのｙについて｛ｙが馬ならば、ｙは象ではないが、動物である）。Ａ
１　　（３）　　　象ａ→動物ａ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ）　　１ＵＥ
１　　（４）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ）　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆動物ｂ→大ａｂ　　　５ＵＥ
１２　（７）　　　馬ｂ→～象ｂ＆動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　８（８）　　　象ａ＆馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１２８（ア）　　　　　　～象ｂ＆動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　７９ＭＰＰ
１２８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　大ａｂ　　　６アＭＰＰ
１２８（ウ）　　　　　　　　　　動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
１２８（エ）　　　　　　　　　　動物ｂ＆大ａｂ　　　　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　８（オ）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１　８（カ）　　　　　　動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　４オＭＰＰ
１２８（キ）　　　　　　動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ　　　　　　　　　　エカ＆Ｉ
１２　（ク）　　　　　象ａ＆馬ｂ→動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ　　　　　８キＣＰ
１２　（ケ）　　∀ｙ（象ａ＆馬ｙ→動物ａ＆動物ｙ＆大ａｙ）　　　　クＵＩ
１２　（コ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ）　　　　ケＵＩ
１２　（〃）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であり、ｙも動物であり、ｘはｙよりも大きい）。ケＵＩ
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
果たして、
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「現実の世界」では、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
といふ「命題」は、「偽」であるものの、
「現実の世界」であっても、
① 象が最大の陸上動物である。
② 最大の陸上動物は象である。
といふ「命題」は、「真」であって、「偽」ではない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
① ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
① ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
といふ、「意味」である。
令和０３年０２月２８日、毛利太。

「象が鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　　　　象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
１　　　　（３）　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　２Ｄｆ.⇔
１　　　　（４）　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３＆Ｅ
１　　　　（５）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　３＆Ｅ
　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　Ａ
１６　　　（７）　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　　６５ＭＴＴ
１６　　　（８）　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　７ド・モルガンの法則
１６　　　（９）　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　８含意の定義
　　ア　　（ア）　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１６ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　９アＭＰＰ
１６ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　イ量化子の関係
　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　エ含意の定義
　　　エ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　オ、ド・モルガンの法則
　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　カＥＩ
１６ア　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　ウエキＥＥ
１６　　　（ケ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　アクＣＰ
１　　　　（コ）～象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　　　　６ケＣＰ
　　　　サ（サ）～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　サ（シ）～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　サ（ス）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
１　　　サ（セ）　　　　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　　　　コシＭＰＰ
１　　　サ（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　スセＭＰＰ
１　　　　（タ）　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　サソＣＰ
１　　　　（チ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　４ＵＩ
１　　　　（ツ）∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　タＵＩ
１　　　　（テ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
１　　　　　　　∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　チツ＆I
（ⅱ）
１　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
　　　　　　　　∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　Ａ
１　　　　（２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　１＆Ｅ
１　　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　２ＵＥ
１　　　　（４）∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　１＆Ｅ
１　　　　（５）　　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　４ＵＥ
　６　　　（６）　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　７　　（７）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　６７　　（８）　　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　６７＆I
１６７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　５８ＭＰＰ
　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　Ａ
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　ア、ド・モルガンの法則
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　イ含意の定義
　 　 ア　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ウＥＩ
１６７　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　９アエＥＥ
１６７　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　オ量化子の関係
１６　　　（キ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　７カＣＰ
１６　　　（ク）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　キ含意の定義
１６　　　（ケ）　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　ク、ド・モルガンの法則
１　　　　（コ）～象ａ→～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　６ケＣＰ
　　　　サ（サ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　Ａ
　　　　サ（シ）　　　～～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　サＤＮ
１　　　サ（ス）～～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケシＭＴＴ
１　　　サ（セ）　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スＤＮ
１　　　　（ソ）　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　　サセＣＰ
１　　　　（タ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　　ソタ＆Ｅ
１　　　　（チ）　　　象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　タＤｆ．⇔
１　　　　（テ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　チＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく）、｝尚且つ、すべてのｘについて｛ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）。｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく）、｝尚且つ、すべてのｘについて｛ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）。｝
といふことは、要するに、
②「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」が、仮に、「象以外にも、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻だけではなく、鼻以外も長い。」
といふ、ことである。
然るに、
（04）
②「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」が、仮に、「象以外にも、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻だけではなく、鼻以外も長い。」
といふことは、
②「象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。」
といふことである。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象が鼻が長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
② 象は鼻が長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
③ 象が鼻は長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
④ 象は鼻は長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
に於いて、
① の「等式」だけが「正しい」のであれば、
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年１１月１９日、毛利太。

「鼻は象が長い」の「述語論理」の「展開」（Ⅱ）。

（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（03）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）≡（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
③（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）≡（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
③（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）≡（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② すべての人は、ある人を愛してゐる。
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」を「応用」すると、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛［鼻αは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、αが長いならば、αはａの鼻ではないか、］または、
　　［鼻αは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、αが長いならば、αはｂの鼻ではなくて、］｝尚且つ、
③｛［鼻βは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、βが長いならば、βはａの鼻ではないか、］または、
　　［鼻βは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、βが長いならば、βはｂの鼻ではなくて、］｝。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふ「意味」になる。
然るに、
（08）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふことは、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふことに、他ならない。
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）、毛利太。

「象は鼻は（が）長い」の「述語論理」（其の？）。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（３）　∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（３の代表的選言項）
　　　６　　（７）　　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（８）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　　（９）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（９の代表的選言項）
　　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　６　　（ウ）　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　６　　（エ）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　５ウＭＰＰ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（エの代表的選言項）
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　　　　アオ（キ）　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イカ＆Ｉ
　２　６ア　（ク）　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エオキＥＥ
１２　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　９アクＥＥ
１２３　　　（コ）　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６ケＥＥ
１２　　　　（サ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３コＲＡＡ
１２　　　　（シ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ量化子の関係
１２　　　　（ス）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シＵＥ
１２　　　　（セ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ス、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ソ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セ、含意の定義
１２　　　　（タ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝。従って、
③ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
という「推論」、すなわち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。然るに、
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの鼻であって長くない。従って、
③ すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
という「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
  ２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
 　 ３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１  　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
  ２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　１ＵＥ
 　　 ６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（３の代表的選言項）
 　　 ６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
 　 　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
  ２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
  ２　６　　（ウ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
 　　 　エ　（エ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（イの代表的選言項）
 　　　 　オ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（ウの代表的選言項）
１　　６　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
１　　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　カＵＥ
 　２ ６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
 　２ ６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ
 　　　 オ　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　オ＆Ｅ
 　２ ６オ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　ケコＭＰＰ
１２　６オ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　キサコＭＰＰ
 　　 　オ　（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６オ　（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　ウオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
③ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
という「推論」、すなわち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。　　　然るに、
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。従って、
③ すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
という「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
という「仮定」により、
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの鼻であって長くない。従って、
③ すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
という「推論」は、「妥当」であり、
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。従って、
③ すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
という「推論」も、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
②「兎の鼻が長くない」ならば「兎は、象ではない。」
③「兎の鼻以外が長い」ならば「兎は、象ではない。」
従って、
（05）（06）により、
（07）
①「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」従って、
②「兎の鼻が長くない」ならば「兎は、象ではない。」
③「兎の鼻以外が長い」ならば「兎は、象ではない。」
という、ことになる。
従って、
（07）により、
（08）
①「象は鼻（　）長い。」従って、
③「兎の鼻以外が長い」ならば「兎は、象ではない。」
に於いて、
①「象は、鼻（が）長い。」従って、
③「兎の鼻以外が長い」ならば「兎は、象ではない。」
という「言い方」の方が、
①「象は、鼻（は）長い。」従って、
③「兎の鼻以外が長い」ならば「兎は、象ではない。」
という「言い方」よりも、「相応しい」と「感じられる」のであれば、
①「象は、鼻が長い。」
③「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
「同様」に、
①「私（　）理事長です。」従って、
③「私以外に理事長はいない。」
に於いて、
①「私（が）理事長です。」従って、
③「私以外に理事長はいない。」
という「言い方」の方が、
①「私（は）理事長です。」従って、
③「私以外に理事長はいない。」
という「言い方」よりも、「相応しい」と「感じられる」のであれば、
①「私が理事長です。」
③「私以外に理事長はいない。」
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（10）
②「理事長は私です。」
③「私以外に理事長はいない。」
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（11）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①「私が理事長です。」
②「理事長は私です。」
③「私以外に理事長はいない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
①「タゴール記念会は、私が理事長です。」
②「タゴール記念会は、理事長は私です。」
③「タゴール記念会は、私以外に理事長はいない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
①「象は、鼻が長いです。」
②「象で、長いのは鼻です。」
③「象は、鼻以外に長くない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）（04）（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
という「等式」が、成立する。
然るに、
（16）
１　　　　　（１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　Ｔ会の会員ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３４ＭＰＰ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　５　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　５＆Ｅ
　　５　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　理事長ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　７ＵＥ
　　　９　　（９）　    　　∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（ア）　　    　　　　小倉ｃ＆～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　    　　　小倉ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　　　    　　～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　   　　 　ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　アエ（オ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＝Ｅ
　　５　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　アエ（キ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ＆私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
　　５　ア　（ク）　　　　　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エキＲＡＡ
　　５　ア　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～理事長ｃａ　　　　　　　　８クＭＴＴ
　　５　ア　（コ）　　　　　　　　小倉ｃ＆～理事長ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イケ＆Ｉ
　　５　ア　（サ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　　５９　　（シ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９アサＥＥ
１３　９　　（ス）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５シＥＥ
１　　９　　（セ）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　３スＣＰ
１　　９　　（シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
１　　９　　（〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
（１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（９）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）。従って、
（シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（１）すべてのｘについて、ｘがＴ会の会員であるならば、あるｙは、私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一」である。然るに、
（９）あるｚは小倉氏であって、ｚは私ではない。従って、
（シ）すべてのｘについて、ｘがＴ会の会員であるならば、あるｚは小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（13）（16）（17）により、
（18）
①「タゴール記念会は、私が理事長です。」
であれば、
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘがＴ会の会員であるならば、あるｙは、私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一」である。
という「等式」が、成立する。
令和０２年０８月０６日、毛利太。

「命題論理」と「象は鼻は長い」と「二重主語」。

（01）
① 象は、鼻は長い。
③ 象は鼻、は長い。
に於いて、「文節」として「正しい」のは、
① であって、
③ ではない。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐは、ＱはＲである。
③ ＰはＱ、はＲである。
に於いて、「文節」として「正しい」のは、
① であって、
③ ではない。
従って、
（02）により、
（03）
① ＰはＱはＲである。
であるならば、
① Ｐは、ＱはＲである。
といふ「区切り（文節）」はあっても、
③ ＰはＱ、はＲである。
といふ「区切り（文節）」はない。
然るに、
（04）
① Ｐは、ＱはＲである。
③ ＰはＱ、はＲである。
といふ「日本語」は、
① Ｐならば、ＱならばＲである。
③ ＰならばＱ、ならばＲである。
といふ風に、解することが、出来る。
然るに、
（05）
「ならば」は、「→（論理演算子）」であって、尚且つ、
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐは、ＱはＲである。
③ ＰはＱ、はＲである。
といふ「日本語」、すなはち、
① Ｐならば、ＱならばＲである。
③ ＰならばＱ、ならばＲである。
といふ「日本語」は、
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２（３）　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２（６）　　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ
１　（７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　６　（７）～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　　６∨Ｉ
１　　　（８）～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　　２３５６７∨Ｉ
１　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　８結合法則
１　　　（ア）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　９含意の定義
　　　イ（イ）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１　　イ（ウ）　　　（～Ｑ∨Ｒ）　アイＭＰＰ
１　　イ（エ）　　　　　Ｑ→Ｒ　　ウ含意の定義
１　　　（オ）　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）　イエＣＰ
（ⅲ）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　Ａ
１　　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｒ　１含意の定義
　３　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　Ａ
　　４　（４）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　Ａ
　　４　（５）　　　Ｐ→Ｑ　　　　４含意の定義
　３４　（６）　～（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　３５＆Ｉ
　３　　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　４６ＲＡＡ
　３　　（８）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ　７∨Ｉ
　　　５（９）　　　　　　　　Ｒ　Ａ
　　　５（ア）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ　９∨Ｉ
１　　　（イ）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ　１３８５ア∨Ｅ
１　　　（ウ）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｒ　イ含意の定義
（ⅳ）
１　（１）（～Ｐ∨Ｑ）→Ｒ　Ａ
　２（２）　　Ｐ→Ｑ　　　　Ａ
　２（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　２含意の定義
１２（４）　　　　　　　Ｒ　１３ＭＰＰ
１　（５）　（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　２４ＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
① 　 Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
②　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③　（Ｐ→Ｑ）→Ｒ
④（～Ｐ∨Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（09）
②　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
④（～Ｐ∨Ｑ）→Ｒ
に於いて、すなはち、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐでないか、Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ ではない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
①  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ
に於いて、すなはち、
①  Ｐならば（ＱならばＲである）。
③（ＰならばＱ）ならばＲである。
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（04）（10）により、
（11）
① Ｐは（ＱはＲである）。
③（ＰはＱ）はＲである。
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（01）（02）（11）により、
（12）
① 象は鼻は長い。⇔
① 象は、鼻は長い。⇔
① 象は（鼻は長い）。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
① 象は（鼻は長い）。
といふ「日本語」に於いて、
① 象は　の「意味」は、
① 　　（鼻は長い）に、「及んでゐる（スコープしてゐる）」。
然るに、
（14）
① 　　　鼻は長い。
に於いて、
① 　　　鼻は　の「意味」は、
①           長い　に、「及んでゐる（スコープしてゐる）」。
従って、
（04）（13）（14）により、
（15）
① 　　　鼻は（長い）。
である。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
① 象は鼻は長い。
といふ「日本語」には、
① 象は｛鼻は（長い）｝。
といふ「括弧（スコープ）」があることになる。
然るに、
（17）
① 象は｛鼻は（長い）｝。
に於ける、
① 　　　鼻は（長い）。
に於いて、
① 　　　鼻は　「主語」であり、
① 　　　　　（長い）は　「述語」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
① 象は｛鼻は（長い）｝。
に於いて、
① 象は　は「主語」であり、
①     ｛鼻は（長い）｝は　「述語」である。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
① 象は鼻は長い。
といふ「日本語」には、
① 象は｛鼻は（長い）｝。
といふ「括弧（スコープ）」があるが故に、
① 象は鼻は長い。
といふ「日本語」は、「二重主語文」である。
令和０２年０５月２９日、毛利太。