「象が（は）動物である。」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）　　　象ａ⇔動ａ　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→動ａ＆　動ａ→象ａ　　　２Ｄｆ.⇔
１　　（４）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　動ａ→象ａ　　　３＆Ｅ
　６　（６）　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　Ａ
　　７（７）　　　　　　　　　　動ａ　　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　５７ＭＰＰ
１６７（９）　　　　　　　　　～象ａ＆象ａ　　　６８＆Ｉ
１６　（ア）　　　　　　　　　～動ａ　　　　　　７９ＲＡＡ
１　　（イ）　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　６アＣＰ
１　　（ウ）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　４イ＆Ｉ
１　　（エ）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　ウＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　　　　　動ａ　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　　　　　～動ａ　　４６ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　動ａ＆～動ａ　　５７＆Ｉ
１５　（９）　　　　　　　　～～象ａ　　　　　　６８ＲＡＡ
１５　（ア）　　　　　　　　　　象ａ　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　　　　　　　　　　動ａ→象ａ　　　５アＣＰ
１　　（ウ）　　　象ａ→動ａ＆　動ａ→象ａ　　　３イ＆Ｉ
１　　（エ）　　　象ａ⇔動ａ　　　　　　　　　　ウＤｆ.⇔
１　　（オ）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）　　　　　　　　　エＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　　　　　Ａ
１（２）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　　　　　１ＵＥ
１（３）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　　　　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　　　　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　４６＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　象ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動ａ　　４ＵＥ
１（６）　　　象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ　　　　　　３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）　　　　　６ＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
（05）
（ⅲ）
１　（１）　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　Ａ
１　（２）　　　　～象ａ→～動ａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　～象ａ＆　動ａ　　Ａ
　３（４）　　　　～象ａ　　　　　　３＆Ｅ
１３（５）　　　　　　　　～動ａ　　２４ＭＰＰ
　３（６）　　　　　　　　　動ａ　　３＆Ｅ
１３（７）　　　　　～動ａ＆動ａ　　５６＆Ｉ
１　（８）　　～（～象ａ＆　動ａ）　３ＲＡＡ
１　（９）∀ｘ～（～象ｘ＆　動ｘ）　８ＵＩ
１　（ア）～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）　９量化子の関係
（ⅳ）
１　　（１）～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）　　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（～象ｘ＆　動ｘ）　　１量化子の関係
１　　（３）　　～（～象ａ＆　動ａ）　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　～象ａ　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　　動ａ　　　Ａ
　４５（６）　　　　～象ａ＆　動ａ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）　　～（～象ａ＆　動ａ）＆
　　　　　　　　　（～象ａ＆　動ａ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　　　～動ａ　　　５７ＲＡＡ
１　　（９）　　　　～象ａ→～動ａ　　　４８ＣＰ
１　　（ア）　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）　　９ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
③ 　∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ （象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象が動物である。」
（β）⇔「象が動物である。」とは、言へない。
然るに、
（10）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象以外（机、椅子）は動物ではない。」
（β）⇔「象以外（兎、河馬）は動物ではない。」とは、言へない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（11）により、
（12）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆  ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動ｘ）
といふ「述語論理式」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に、「等しい」。
然るに、
（13）
「現実」には、
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
といふことはなく、
⑤ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在する。
従って、
（13）により、
（14）
「現実」には、
⑤ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動ｘ）⇔
⑤ 象は動物であるが、象以外にも、動物は存在する。
従って、
（14）により、
（15）
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」が無い。
然るに、
（16）
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、存在しない。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）　　すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、ｘは動物であって馬であり、尚且つ、すべてのｙについて、ｙが象以外の動物であるならば、ｘはｙよりも大きい）｝。然るに、
（ⅱ）　　すべてのｙについて（ｙが馬ならば、ｙは象以外の動物である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であって、ｙも動物であって、ｘはｙよりも大きい）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝　Ａ
　２　（２）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（〃）すべてのｙについて｛ｙが馬ならば、ｙは象ではないが、動物である）。Ａ
１　　（３）　　　象ａ→動物ａ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ）　　１ＵＥ
１　　（４）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ）　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆動物ｂ→大ａｂ　　　５ＵＥ
１２　（７）　　　馬ｂ→～象ｂ＆動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　８（８）　　　象ａ＆馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１２８（ア）　　　　　　～象ｂ＆動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　７９ＭＰＰ
１２８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　大ａｂ　　　６アＭＰＰ
１２８（ウ）　　　　　　　　　　動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
１２８（エ）　　　　　　　　　　動物ｂ＆大ａｂ　　　　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　８（オ）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１　８（カ）　　　　　　動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　４オＭＰＰ
１２８（キ）　　　　　　動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ　　　　　　　　　　エカ＆Ｉ
１２　（ク）　　　　　象ａ＆馬ｂ→動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ　　　　　８キＣＰ
１２　（ケ）　　∀ｙ（象ａ＆馬ｙ→動物ａ＆動物ｙ＆大ａｙ）　　　　クＵＩ
１２　（コ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ）　　　　ケＵＩ
１２　（〃）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であり、ｙも動物であり、ｘはｙよりも大きい）。ケＵＩ
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
果たして、
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「現実の世界」では、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
といふ「命題」は、「偽」であるものの、
「現実の世界」であっても、
① 象が最大の陸上動物である。
② 最大の陸上動物は象である。
といふ「命題」は、「真」であって、「偽」ではない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
① ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
① ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
といふ、「意味」である。
令和０３年０２月２８日、毛利太。