「鼻は象が長い。といふわけではない。」の「述語論理」。

（01）
｛象、兎、馬｝に於いて、
（ⅰ）耳ではなく、顔でもなく、鼻であれば、『象の鼻が長い。』
（ⅱ）鼻ではなく、顔でもなく、耳であれば、『兎の耳が長い。』
（ⅲ）鼻ではなく、耳でもなく、顔であれば、『馬の顔が長い。』
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）鼻は象が長く、
（ⅱ）耳は兎が長く、
（ⅲ）顔は馬が長い。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「論証（三段論法）」、すなはち、
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「論証（三段論法）」、すなはち、
（05）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。然るに、
（ⅲ）　　　　すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘについて（ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない）｝。従って、
（ⅲ）　　　　すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（06）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　　　７　（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５７　（８）　　　　　　～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　６７ＭＰＰ
　　５７　（９）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　５７　（ア）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　３　７　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆　長ａ）　　　　　　４ウＭＴＴ
　３　７　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　３　７　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　オ含意の定義
　３　７　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　９カＭＰＰ
　３　７イ（ク）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　イキ＆Ｉ
　３　７イ（ケ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　クＥＩ
　３５７　（コ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　アイケＥＥ
１　５７　（サ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　２３コＥＥ
１　５　　（シ）　　　兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　７サＣＰ
１　５　　（ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　シＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
果たして、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「三段論法」、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
① 鼻に関して言へば、象のそれ（鼻）は長く、象以外（兎や馬）で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）が長い。⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（08）により、
（09）
② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔
② 鼻は、象が長く、象以外は長くない。といふわけではない。⇔
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１　　　（１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　（２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　１量化子の関係
１　　　（３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　２量化子の関係
　４　　（４）　　∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　Ａ
　４　　（５）　　　　～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）｝　４ＵＥ
　４　　（６）　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　５ド・モルガンの法則
　　７　（７）　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　７　（８）　　～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　７含意の定義
　　７　（９）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　７　（ア）　　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　９結合法則
　　７　（イ）　　　　　　象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　ア交換法則
　　７　（ウ）　　　　　（象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ）　　　イ∨Ｉ
　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　Ａ
　　　エ（オ）　　　　　　　　　　　　　　～｛～（～象ｂ＆長ａ）∨～鼻ａｂ）｝　エ含意の定義
　　　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆長ｂ）＆　鼻ａｂ　　　オ、ド・モルガンの法則
　　　エ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ｂ＆鼻ａｂ　　　カ結合法則
　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ　　　キ交換法則
　　　エ（ケ）　　　　　（象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ）　　　ク∨Ｉ
　４　　（コ）　　　　　（象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ）　　　６７ウエケ∨Ｅ
　４　　（サ）　　∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ｙ）｝　　コＵＩ
　４　　（シ）∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝　　サＥＩ
１　　　（ス）∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝　　１４シＥＥ
（ⅲ）
１　　　（１）∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝　　Ａ
　２　　（２）　　∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ｙ）｝　　Ａ
　２　　（３）　　　　　（象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ）　　　２ＵＥ
　　４　（４）　　　　　（象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）　　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　４交換法則
　　４　（６）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　５結合法則
　　４　（７）　　～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　　４　（８）　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ　→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　７含意の定義
　　４　（９）　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　８∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ）　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ｂ＆鼻ａｂ　　　ア交換法則
　　　ア（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆長ｂ）＆鼻ａｂ　　　イ結合法則
　　　ア（エ）　　　　　　　　　　　　　　～｛～（～象ｂ＆長ａ）∨～鼻ａｂ）｝　ウ、ド・モルガンの法則
　　　ア（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　エ、含意の定義
　　　ア（カ）　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　オ、∨Ｉ
　２　　（キ）　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　３４９アカ∨Ｅ
　２　　（ク）　　　　～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）｝　キ、ド・モルガンの法則
　２　　（ケ）　　∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　クＵＩ
　２　　（コ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　ケＥＩ
１　　　（サ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　１２コＥＥ
１　　　（シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　サ量化子の関係
１　　　（ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　シ量化子の関係
従って、
（10）により、
（11）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ 　∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝といふわけではない。
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙは象であって、ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない。か、または、ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であって、ｘは長い｝。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
といふ「論理式」は、
② 鼻は象が長い。といふわけではない。
③ ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の（動物の）鼻が長い。
といふ「日本語」に、相当し、尚且つ、
②＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
② ～～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ 　～∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
に於いても、
②＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② 　∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ～∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
に於いても、
②＝③ である。
従って、
（08）～（14）により、
（15）
① 鼻は象が長い。
② ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の（動物の）鼻が長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
② ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の（動物の）鼻が長い。といふことはない。
といふことは、
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 鼻は象が長い。
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（01）により、
（18）
最初に、確認した通り、
｛象、兎、馬｝に於いて、
（ⅰ）耳ではなく、顔でもなく、鼻であれば、『象の鼻が長い。』
（ⅱ）鼻ではなく、顔でもなく、耳であれば、『兎の耳が長い。』
（ⅲ）鼻ではなく、耳でもなく、顔であれば、『馬の顔が長い。』
従って、
（08）（17）（18）により、
（19）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
① 鼻に関して言へば、象のそれ（鼻）は長く、象以外（兎や馬）で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）が長い。⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ「等式」は、確かに、「正しい」。
令和０３年０２月１３日、毛利太。