「ド・モルガンの法則」と「量化子の関係」について。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　　　Ｐ∨（～Ｑ∨　Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　（～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　２４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　　Ｐ∨　～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２４＆Ｉ
１　　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
　　　７　（７）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　７　（８）　　　　Ｐ∨　～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　７　（９）　　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　７　（ア）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２９＆I
１　　　　（イ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　７アＲＡＡ
１　　　　（ウ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　イＤＮ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　エ（オ）　　　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　エ∨Ｉ
　　　　エ（カ）　　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
１　　　エ（キ）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２カ＆Ｉ
１　　　　（ク）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　エキＲＡＡ
１　　　　（ケ）　　　～Ｐ＆　　Ｑ　　　　　　６ウ＆Ｉ
１　　　　（コ）　　　～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ　　　クケ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①     ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
② ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
①     ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
② ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｆａ
Ｑ＝　Ｆｂ
Ｒ＝～Ｆｃ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 　～～Ｆａ＆　Ｆａ＆～～Ｆｃ
② ～（～Ｆａ∨～Ｆａ∨　～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 　    Ｆａ＆　Ｆａ＆　Ｆｃ
② ～（～Ｆａ∨～Ｆａ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「変域（ドメイン）」とすると、
① 　∀ｘ　Ｆｘ≡　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である（左辺：量化子の関係）。
①＝② である（右辺：ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
③ 　～∀ｘ　Ｆｘ≡　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～～∃ｘ～Ｆｘ≡～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（量化子の関係）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～∀ｘ　Ｆｘ≡～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④   ∃ｘ～Ｆｘ≡（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（量化子の関係）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 　∀ｘ　Ｆｘ≡　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
③ ～∀ｘ　Ｆｘ≡　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④   ∃ｘ～Ｆｘ≡　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
「述語論理」に於ける「量化子の関係」といふのは、
「命題論理」に於ける「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
然るに、
（10）
① 　∀ｘ　Ｆｘ≡すべてのｘは、Ｆである。
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡Ｆでないｘは、存在しない。
③ ～∀ｘ　Ｆｘ≡すべてのｘは、Ｆである。といふわけではない。
④   ∃ｘ～Ｆｘ≡Ｆでないｘが、存在する（あるｘは、Ｆでない）。
従って、
（10）により、
（11）
① すべてのｘは、Ｆである。
② Ｆでないｘは、存在しない。
③ すべてのｘは、Ｆである。といふわけではない。
④ Ｆでないｘが、存在する（あるｘは、Ｆでない）。
に於いて、
①＝② である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
令和０３年０２月１０日、毛利太。