『「象は鼻が長い。」といふわけではない。』の「述語論理」。

（01）
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
②　 ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
② は、① の、「後半」の「否定」であって、
③ は、① の、「全体」の「否定」である。
然るに、
（02）
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４＆Ｅ
１３　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６量化子の関係
　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　９ド・モルガンの法則
　　８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　アＥＩ
１３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　７８ＥＥ
１３　（エ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　５ウ＆Ｉ
１　　（オ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　３エＣＰ
１　　（カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　オＵＩ
（ⅳ）
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　４＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　７ド・モルガンの法則
　　７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　８含意の定義
　　７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　７ＥＩ
１３　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　６７アＥＥ
１３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　イ量化子の関係
１３　（エ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　５ウ＆Ｉ
１　　（オ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３エＣＰ
１　　（カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　オＵＩ
（03）
（ⅲ）
１　　　　（１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　（２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　１量化子の関係
　３　　　（３）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　Ａ
　３　　　（４）　～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　３含意の定義
　３　　　（５）　　象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　４ド・モルガンの法則
　３　　　（６）　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３　　　（７）　　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　５＆Ｅ
　３　　　（８）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　７ド・モルガンの法則
　　９　　（９）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　９　　（ア）　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　９量化子の関係
　　９　　（イ）　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　アＵＥ
　　９　　（ウ）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　イ、ド・モルガンの法則
　　９　　（エ）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義
　　９　　（オ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＵＩ
　　９　　（カ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　オ∨Ｉ
　　　キ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　Ａ
　　　キ　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　キ量化子の関係
　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　Ａ
　　　　ケ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　ケ含意の定義
　　　　ケ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　コ、ド・モルガンの法則
　　　　ケ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　サＥＩ
　　　キ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　クケシＥＥ
　　　キ　（セ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ス∨Ｉ
　　３　　（ソ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　８９カキセ∨Ｅ
　　３　　（タ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　６ソ＆Ｉ
　　３　　（チ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　タＥＩ
１　　　　（ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　２３チＥＥ
（ⅴ）
１　　　　（１）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
　２　　　（２）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　Ａ
　２　　　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２＆Ｅ
　　５　　（５）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　５　　（７）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　５　　（８）　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　５　　（９）　　　　　　∀ｙ～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　８ＵＩ
　　５　　（ア）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　９量化子の関係
　　５　　（イ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア∨I
　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　Ａ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　Ａ
　　　　エ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　エ、ド・モルガンの法則
　　　　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　オ含意の定義
　　　　エ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　カＥＩ
　　　ウ　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　ウエキＥＥ
　　　ウ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ク量化子の関係
　　　ウ　（コ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ケ∨Ｉ
　２　　　（サ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２５イウコ∨Ｅ
　２　　　（シ）　　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　サ、ド・モルガンの法則
　２　　　（ス）　　象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　３シ＆Ｉ
　２　　　（セ）　～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　ス、ド・モルガンの法則
　２　　　（ソ）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　セ含意の定義
　２　　　（タ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　ソＥＩ
１　　　　（チ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　１２タＥＥ
１　　　　（ツ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　チ含意の定義
従って、
（02）（03）により、
（04）
②　 ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
⑤ 　∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
②＝④ であって、
④＝⑤ である。
（01）（04）により、
（05）
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
②　 ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
⑤ 　∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
（05）により、
（06）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）といふわけではない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝といふわけではない。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、　　あるｚについて（ｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い）。｝
⑤ 　　あるｘについて｛ｘは象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）か、あるｚについて（ｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い）。｝
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
であるとして、
④ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
⑤ ある象は、鼻は長くないか、または、鼻以外も長い。
に於いて、
④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
令和０３年０２月０９日、毛利太。