「ド・モルガンの法則」の「命題計算」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１　３　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　２　（２）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　２　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２∨Ｉ
１　２　（４）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　５ＤＮ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　７∨Ｉ
１　　７（９）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　～～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　　　　　Ｑ　　　アＤＮ
１　　　（ウ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　６イ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①　　　 Ｐ＆　Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
（03）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　２４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆I
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
（05）
（ⅴ）
１　　　　　　　（１）　　　Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　～Ｐ∨　～Ｑ∨　～Ｒ∨～Ｓ　　　Ａ
　２　　　　　　（３）　　～Ｐ∨　～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）　　２結合法則
　２　　　　　　（４）　　～Ｐ∨［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］　３結合法則
　　５　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　５　　　　　（７）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　５　　　　　（８）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１７ＲＡＡ
　　　９　　　　（９）　　　　　［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］　Ａ
　　　　ア　　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（イ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　ア　　　（ウ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　アイ＆Ｉ
　　　　ア　　　（エ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１ウＲＡＡ
　　　　　オ　　（オ）　　　　　　　　　（～Ｒ∨～Ｓ）　　Ａ
　　　　　　カ　（カ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　カ　（ク）　　　　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　　カキ＆Ｉ
　　　　　　カ　（ケ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　　　コ（コ）　　　　　　　　　　　　　～Ｓ　　　Ａ
１　　　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　Ｓ　　　１＆Ｅ
１　　　　　　コ（シ）　　　　　　　　　　　～Ｓ＆Ｓ　　　コサ＆Ｉ
　　　　　　　コ（ス）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１シＲＡＡ
　　　　　オ　　（セ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　オカケコス∨Ｅ
　　　９　　　　（ソ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　９アエオセ∨Ｅ
　２　　　　　　（タ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　４５８９ソ∨Ｅ
１２　　　　　　（チ）　　（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１タ＆Ｉ
１　　　　　　　（ツ）～（～Ｐ∨　～Ｑ∨　～Ｒ∨～Ｓ）　　２チＲＡＡ
（ⅵ）
１　　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　Ａ
　　２　　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　２　　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　　　３∨Ｉ
　　２　　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　４∨Ｉ
１　２　　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１５＆Ｉ
１　　　　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　　　　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　　　ア∨Ｉ
　　　９　　（ウ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　イ∨Ｉ
１　　９　　（エ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　　　（オ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　　　　９エＲＡＡ
１　　　　　（カ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　オＤＮ
　　　　キ　（キ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　Ａ
　　　　キ　（ク）　　　　　　　　　～Ｒ∨～Ｓ　　　キ∨Ｉ
　　　　キ　（ケ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　ク∨Ｉ
　　　　キ　（コ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　ケ∨Ｉ
１　　　キ　（サ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　　（シ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　　　　キサＲＡＡ
１　　　　　（ス）　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　シＤＮ
　　　　　エ（セ）　　　　　　　　　　　　～Ｓ　　　Ａ
　　　　　エ（ソ）　　　　　　　　　～Ｒ∨～Ｓ　　　セ∨Ｉ
　　　　　エ（タ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　ソ∨Ｉ
　　　　　エ（チ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　タ∨Ｉ
１　　　　エ（ツ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１チ＆Ｉ
１　　　　　（テ）　　　　　　　　　　　～～Ｓ　　　エツＲＡＡ
１　　　　　（ト）　　　　　　　　　　　　　Ｓ　　　テＤＮ
１　　　　　（ナ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　　　８カ＆Ｉ
１　　　　　（ニ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ　　　　　　スナ＆Ｉ
１　　　　　（ヌ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ＆　Ｓ　　　トニ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ＆　Ｓ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
①　　　 Ｐ＆　Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ＆　Ｓ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）（03）（05）により、
（08）
このやうな「計算（propositional calculus）」は、「数を数へる」やうに、「無限に続ける」ことが、出来る。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
「数学的帰納法」により、「ド・モルガンの法則」は、
「無限個の命題」に対して、成立する。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　　　Ｐ∨（～Ｑ∨　Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　（～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　２４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　　Ｐ∨　～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２４＆Ｉ
１　　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
　　　７　（７）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　７　（８）　　　　Ｐ∨　～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　７　（９）　　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　７　（ア）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２９＆I
１　　　　（イ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　７アＲＡＡ
１　　　　（ウ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　イＤＮ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　エ（オ）　　　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　エ∨Ｉ
　　　　エ（カ）　　　　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
１　　　エ（キ）　～（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ）　　２カ＆Ｉ
１　　　　（ク）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　エキＲＡＡ
１　　　　（ケ）　　　～Ｐ＆　　Ｑ　　　　　　６ウ＆Ｉ
１　　　　（コ）　　　～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ　　　クケ＆Ｉ
従って、
（10）により、
（11）
① 　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
② ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
「否定命題」と「肯定命題」が「混在」してゐる場合であっても、
「ド・モルガンの法則」は、成立する。
然るに、
（11）により、
（13）
① 　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
② ～～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（13）により、
（14）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
② 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）により、
（15）
② 　～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
① ～～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝① である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
① 　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝① である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
③ ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
④ 　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① ～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
② 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
③ ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
④ 　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）（17）により、
（18）
例へば、
① ～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ＆　Ｓ）
② 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ∨～Ｓ）
③ ～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ∨～Ｓ）
④ 　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ＆　Ｓ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。
令和０３年０２月１１日、毛利太。