「真理値表」は、飽くまでも「機械的」。

（01）
１０個の原始的規則、あるいは「定理」を用いて、つぎの連式を証明せよ（Using 10 primitive rules or theorems, prove the following sequent）。
Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（５）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　３４＆Ｉ
　　６（６）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　Ｑ　　　　　　　６＆Ｅ
　　６（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　　　Ｒ　　　　　６＆Ｅ
　　６（ア）　　　　Ｐ∨Ｒ　　　　　９∨Ｉ
　　６（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　１２５６イ∨Ｅ
（ⅱ）
１　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２ＤＮ
１　（４）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義（は定理）。
１　（５）　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　１＆Ｅ
１　（６）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　５ＤＮ
１　（７）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　６含意の定義（は定理）。
　２（８）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２（９）　　　　Ｑ　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１２（ア）　　　　　　　　　　Ｒ　　７８ＭＰＰ
１２（イ）　　　　（Ｑ＆Ｒ）　　　　９ア＆Ｉ
１　（ウ）　～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）　　　　８イＣＰ
１　（エ）～～Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　ウ含意の定義（は定理）。
１　（オ）　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　エＤＮ
（02）
１０個の原始的規則のみを用いて、つぎの連式を証明せよ（Using only 10 primitive rules, prove the following sequent）。
Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（５）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　３４＆Ｉ
　　６（６）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　Ｑ　　　　　　　６＆Ｅ
　　６（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　　　Ｒ　　　　　６＆Ｅ
　　６（ア）　　　　Ｐ∨Ｒ　　　　　９∨Ｉ
　　６（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　１２５６イ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　　　　　　　　　（１）　　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　　　Ａ
１　　　　　　　　　　　　（２）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　　　　　　　　（３）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　　　　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　　　　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　　　　　　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　　　　　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　　　　　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　　　　　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　　　　　　　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　　　　　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　３アＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　　　　　　　（エ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ　　　　　　　（オ）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エオ　　　　　　　（カ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　　　　　　　（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　オカ＆Ｉ
１　　　エ　　　　　　　　（ク）　　　　～～Ｑ　　　　　　　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　　　　　　　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　クＤＮ
１　　　　　　　　　　　　（コ）　　　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　エケＣＰ
１　　　　　　　　　　　　（サ）　　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　　　１＆Ｅ
　　　　　シ　　　　　　　（シ）　　　　　　　　～Ｐ＆～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　ス　　　　　　（ス）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　シ　　　　　　　（セ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　シス　　　　　　（ソ）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　スセ＆Ｉ
　　　　　　ス　　　　　　（タ）　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｒ）　　シソＲＡＡ
　　　　　　　チ　　　　　（チ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　　　　シ　　　　　　　（ツ）　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　シ＆Ｅ
　　　　　シ　チ　　　　　（テ）　　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　チツ＆Ｉ
　　　　　　　チ　　　　　（ト）　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｒ）　　シチＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　（ナ）　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｒ）　　サスタチト∨Ｅ
　　　　　　　　ニ　　　　（ニ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　ヌ　　　（ヌ）　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　ニヌ　　　（ネ）　　　　　　　　～Ｐ＆～Ｒ　　　ニヌ＆Ｉ
１　　　　　　　ニヌ　　　（ノ）　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｒ）　　ナネ＆Ｉ
１　　　　　　　ニ　　　　（ハ）　　　　　　　　　　～～Ｒ　　　ヌノＲＡＡ
１　　　　　　　ニ　　　　（ヒ）　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　ハＤＮ
１　　　　　　　　　　　　（フ）　　　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　　ニヒＣＰ
　　　　　　　　　　ヘ　　（ヘ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　　　ヘ　　（ホ）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　コヘＭＰＰ
１　　　　　　　　　ヘ　　（マ）　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　フヘＭＰＰ
１　　　　　　　　　ヘ　　（ミ）　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　ホマ＆Ｉ
１　　　　　　　　　　　　（ム）　　～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）　　　　　　ヘミＣＰ
　　　　　　　　　　　メ　（メ）　～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　モ（モ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　モ（ヤ）　　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　　　モ∨Ｉ
　　　　　　　　　　　メモ（い）　～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝　　　　　メヤ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　メ　（ユ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　モいＲＡＡ
１　　　　　　　　　　メ　（え）　　　　　（Ｑ＆Ｒ）　　　　　　ムユＭＰＰ
１　　　　　　　　　　メ　（ヨ）　　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　　　え∨Ｉ
１　　　　　　　　　　メ　（ワ）　～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝　　　　　メえ＆Ｉ
１　　　　　　　　　　　　（ヰ）～～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝　　　　　メワＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　（う）　　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　　　ヰＤＮ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「含意の定義」といふ「定理」を用ゐても、
「含意の定義」といふ「定理」を用ゐなくとも、「結論」として、
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
然るに、
（04）
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
といふ「論理式」を、「何秒か」見てゐれば、
①  ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「同値変形（含意の定義）」に、気が付くことになるし、
①  ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「論理式」からすれば、
①＝② である。
といふことは、「明白」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①  ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
に於いて、
①＝② であることに、「気付く」ことが出来れば、
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② であることに、「気付く」ことが出来る。
然るに、
（06）

従って、
（06）により、
（07）
「真理値表（Truth table）」により、
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
① の「真理値」と、
② の「真理値」は、「等しく」、それ故、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
然るに、
（08）
Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
といふ「連式（Sequent）」に対する、
「命題計算（propositional calculus）」による「証明」と、
「真理値表（Truth table）」による「証明」は、少しも、「似てゐない」。
従って、
（04）～（08）により、
（09）
「真理値表」に「習熟」した段階で、
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
といふ「論理式」を、「何秒か」見てゐれば、
①  ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「同値変形（含意の定義）」に、気が付くことになり、
①  ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「論理式」からすれば、
①＝② である。
といふことは、「明白」である。
といふことを、知るやうになるか、どうかは、私には、「不明」である。
令和０３年０３月０４日、毛利太。