「ルカジェヴィッツの公理」による「同一律」の証明。

（01）
　ルカジェヴィッツによる公理（１・２）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　～Ｑ∨　Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　エケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　１コＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　３６ＣＰ
１　　（８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　　　　　　　　　　　　２７ＣＰ
　　　（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］　１８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「自然演繹」によって、「証明」出来る。
従って、
（03）により、
（04）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（〃）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］　Ａ
（３）　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）　　１２ＭＰＰ
（４）　　　　　　　　　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）→（Ｐ→Ｐ）　　３ Ｑに、（Ｑ→Ｐ）を代入。
（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｐ　　　１４ＭＰＰ
従って、
（03）～（06）により、
（07）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
といふ「公理」に於いて、
（ⅰ）Ｒ＝Ｐ といふ「代入」を行った上で、
（ⅱ）ＭＰＰ を行ひ、次に、
（ⅲ）Ｑ＝Ｑ→Ｐ といふ「代入」を行ひ、その上で、
（ⅳ）ＭＰＰ を行ふと、
（ⅴ）Ｐ→Ｐ（同一律） を、得ることになる。
ｃｆ.
「沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７４・１７５頁」
従って、
（03）～（07）により、
（08）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」から、
（３）　Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　　（１）　　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　Ａ
１　　　（２）　～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ）　１含意の定義
　３　　（３）　～Ｐ　　　　　　　Ａ
　３　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　　Ｑ→Ｐ　　Ａ
　　５　（６）　　　　～Ｑ∨Ｐ　　５含意の定義
　　５　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ　　２３４５７∨Ｅ
１　　　（９）　～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ　　８交換法則
１　　　（ア）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　９結合法則
１　　　（イ）～Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）　ア交換法則
１　　　（ウ）　Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）　イ含意の定義
　　　エ（エ）　Ｑ　　　　　　　　Ａ
１　　エ（オ）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　ウエＭＰＰ
１　　エ（カ）　　　　　Ｐ→Ｐ　　オ含意の定義
１　　　（キ）　Ｑ→　（Ｐ→Ｐ）　エカＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　Ｑ→（Ｐ→Ｐ）　　Ａ
１　　　（２）～Ｑ∨（Ｐ→Ｐ）　　１含意の定義
　３　　（３）～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ　　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　Ｐ→Ｐ　　　Ａ
　　５　（６）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　５含意の定義
　　５　（７）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　　　（８）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ　　　２３４５７∨Ｅ
１　　　（９）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ　　　８交換法則
１　　　（ア）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）　９結合法則
１　　　（イ）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｐ）　ア含意の定義
　　　ウ（ウ）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１　　ウ（エ）　　　　～Ｑ∨Ｐ　　イウＭＰＰ
１　　ウ（オ）　　　　　Ｑ→Ｐ　　エ含意の定義
１　　　（カ）　Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）　ウオＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② Ｑ→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」だけでなく、
（１）　Ｑ→（Ｐ→Ｐ）
（２）［Ｑ→（Ｐ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
からも、
（３）　Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る、はずある（？）。
令和０３年０２月２８日、毛利太。