「幾らかのフランス人は寛大である。」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（02）
『定理』を用いて、次の連式を証明せよ（Using theorems, prove the following sequent）。
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（ⅰ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　　４　（４）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　４ＥＩ
　　４　（６）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　５∨Ｉ
　　　７（７）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　７ＥＩ
　　　７（９）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　８∨I
　２　　（ア）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２４６７９∨Ｅ
１　　　（イ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１２アＥＥ
（ⅱ）
１　　　　（１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　４含意の定義
　　３　　（６）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
　２　　　（７）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３６ＥＥ
　　　８　（８）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　　９（ア）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　９∨Ｉ
　　　　９（イ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　ア含意の定義
　　　　９（ウ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　イＥＩ
　　　８　（エ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　８９ＥＥ
１　　　　（オ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　１２７８エ∨Ｅ
（03）
『定理』を用いずに、次の連式を証明せよ（Not using theorems, prove the following sequent）。
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ
　　３　　　（３）　～（～Ｆａ∨Ｇａ）　　　　　Ａ
　　　４　　（４）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　（５）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　４∨Ｉ
　　３４　　（６）　～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨Ｇａ）　　　　　３５＆Ｉ
　　３　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　４６ＲＡＡ
　　３　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　７ＤＮ
　２３　　　（９）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　２８ＭＰＰ
　２３　　　（ア）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　９∨Ｉ
　２３　　　（イ）　～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨Ｇａ）　　　　　２ア＆Ｉ
　２　　　　（ウ）～～（～Ｆａ∨Ｇａ）　　　　　３イＲＡＡ
　２　　　　（エ）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ　（オ）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　オ　（カ）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
　　　　オ　（キ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　カ∨Ｉ
　　　　　ク（ク）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　　　　ク（ケ）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　クＥＩ
　　　　　ク（コ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　ケ∨Ｉ
　２　　　　（サ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２オキクコ∨Ｅ
１　　　　　（シ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１２サＥＥ
（ⅱ）
１　　　　 　　　　　 （１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　　Ａ
　２　　　　 　　　　 （２）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　 　　　　 （３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　 　　　 （４）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　　 　　　　 （５）∃ｘ（～Ｆａ∨Ｇａ）　　　　　　４ＥＩ
　２　　　　　　 　　 （６）∃ｘ（～Ｆａ∨Ｇａ）　　　　　　２３５ＥＥ
　　　７　　 　　　　 （７）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　Ａ
　　　　８　 　　　　 （８）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
　　　　８　　 　　　 （９）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　６∨Ｉ
　　　　８　 　　　　 （ア）　　　　∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）　　９ＥＩ
　　　７　　　　 　　 （イ）　　　　∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）　　７８アＥＥ
１　　　　　 　　　　 （ウ）　　　　∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）　　１２６７イ∨Ｅ
　　　　　エ　 　　　 （オ）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　Ａ
　　　　　　カ 　 　　（カ）　　　　　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　Ａ
　　　　　　　キ　　　（キ）　　　　　　　～Ｆａ　　　　　　Ａ
　　　　　　カ　　　　（ク）　　　　　　　　Ｆａ　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　　　カキ　　　（ケ）　　　　　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　キク
　　　　　　　キ　　　（コ）　　　　　　～（Ｆａ＆～Ｇａ）　カケＲＡＡ
　　　　　　　　サ　　（サ）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
　　　　　　カ　　　　（シ）　　　　　　　　　　　～Ｇａ　　カ＆Ｅ
　　　　　　カ　サ　　（ス）　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　サシ＆Ｉ
　　　　　　　　サ　　（セ）　　　　　　～（Ｆａ＆～Ｇａ）　カスＲＡＡ
　　　　　エ　　　　　（ソ）　　　　　　～（Ｆａ＆～Ｇａ）　エキコサセ∨Ｅ
　　　　　　　　　タ　（タ）　　　　　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　チ（チ）　　　　　　　　　　　～Ｇａ　　Ａ
　　　　　　　　　タチ（ツ）　　　　　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　タチ＆Ｉ
　　　　　エ　　　タチ（テ）　　　　　　～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｇａ）　ソツ＆Ｉ
　　　　　エ　　　タ　（ト）　　　　　　　　　　～～Ｇａ　　チテＲＡＡ
　　　　　エ　　　タ　（ナ）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　トＤＮ
　　　　　エ　　　　　（ニ）　　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　タナＣＰ
　　　　　エ　　　　　（ヌ）　　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　ニＥＩ
１　　　　　　　　　　（ネ）　　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　ウエヌＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① ある人について（その人がフランス人であるならば、その人は寛大である）。
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ある人は（フランス人でない）。
といふ「命題」が「真」であるならば、それだけで、
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（07）
② ある人が（ドイツ人であって）、その人が寛大である。
とすれば、
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（08）
② ある人はドイツ人であって、その人は寛大である。
といふ「命題」は、
② フランス人が存在しないとしても真である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
E.J.レモン が言ふやうに、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）⇔
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「論理式」は、かりにフランス人が存在しない（even if there are no French）としても真である。
令和０３年０２月１５日、毛利太。