「象が鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　　　　象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
１　　　　（３）　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　２Ｄｆ.⇔
１　　　　（４）　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３＆Ｅ
１　　　　（５）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　３＆Ｅ
　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　Ａ
１６　　　（７）　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　　６５ＭＴＴ
１６　　　（８）　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　７ド・モルガンの法則
１６　　　（９）　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　８含意の定義
　　ア　　（ア）　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１６ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　９アＭＰＰ
１６ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　イ量化子の関係
　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　エ含意の定義
　　　エ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　オ、ド・モルガンの法則
　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　カＥＩ
１６ア　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　ウエキＥＥ
１６　　　（ケ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　アクＣＰ
１　　　　（コ）～象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　　　　６ケＣＰ
　　　　サ（サ）～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　サ（シ）～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　サ（ス）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
１　　　サ（セ）　　　　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　　　　コシＭＰＰ
１　　　サ（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　スセＭＰＰ
１　　　　（タ）　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　サソＣＰ
１　　　　（チ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　４ＵＩ
１　　　　（ツ）∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　タＵＩ
１　　　　（テ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
１　　　　　　　∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　チツ＆I
（ⅱ）
１　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
　　　　　　　　∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　Ａ
１　　　　（２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　１＆Ｅ
１　　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　２ＵＥ
１　　　　（４）∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　１＆Ｅ
１　　　　（５）　　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　４ＵＥ
　６　　　（６）　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　７　　（７）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　６７　　（８）　　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　６７＆I
１６７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　５８ＭＰＰ
　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　Ａ
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　ア、ド・モルガンの法則
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　イ含意の定義
　 　 ア　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ウＥＩ
１６７　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　９アエＥＥ
１６７　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　オ量化子の関係
１６　　　（キ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　７カＣＰ
１６　　　（ク）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　キ含意の定義
１６　　　（ケ）　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　ク、ド・モルガンの法則
１　　　　（コ）～象ａ→～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　６ケＣＰ
　　　　サ（サ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　Ａ
　　　　サ（シ）　　　～～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　サＤＮ
１　　　サ（ス）～～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケシＭＴＴ
１　　　サ（セ）　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スＤＮ
１　　　　（ソ）　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　　サセＣＰ
１　　　　（タ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　　ソタ＆Ｅ
１　　　　（チ）　　　象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　タＤｆ．⇔
１　　　　（テ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　チＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく）、｝尚且つ、すべてのｘについて｛ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）。｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく）、｝尚且つ、すべてのｘについて｛ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）。｝
といふことは、要するに、
②「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」が、仮に、「象以外にも、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻だけではなく、鼻以外も長い。」
といふ、ことである。
然るに、
（04）
②「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」が、仮に、「象以外にも、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻だけではなく、鼻以外も長い。」
といふことは、
②「象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。」
といふことである。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象が鼻が長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
② 象は鼻が長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
③ 象が鼻は長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
④ 象は鼻は長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
に於いて、
① の「等式」だけが「正しい」のであれば、
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年１１月１９日、毛利太。