ロ（様相論理）と∀（述語論理）。

（01）
① □（α→β）├ □α→□β
といふ「式」は、「様相論理の式」であって（？）、
①（αならばβであること）は「必然」である。故に、（αであることが「必然」である）あるならば、（βであることも「必然」である）。
といふ「意味」である（？）。
従って、
（01）により、
（02）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
といふ「様相論理の式」が、有るのであれば、
①（ＦｘならばＧｘであること）は「必然」である。故に、（Ｆｘであることが「必然」である）あるならば、（Ｇｘであることも「必然」である）。
といふ「意味」に、なるはずである（？）。
然るに、
（03）
①（ＦｘならばＧｘであること）は「必然」である。故に、（Ｆｘであることが「必然」である）あるならば、（Ｇｘであることも「必然」である）。
といふことは、
② すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に、すべてのｘについて（ｘがＦである）ならば、すべてのｘについて（ｘがＦである）。
といふことに、他ならない。
然るに、
（04）
② すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に。すべてのｘについて（ｘがＦである）ならば、すべてのｘについて（ｘがＦである）。
といふことは、「述語論理の式」としては、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」になる。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１　（１）　　　　∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
１　（３）　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　１ＵＥ
　２（４）　　　　　　　Ｆａ　　　　　２ＵＥ
１２（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
１２（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　５ＵＩ
１　（７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　２６ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、「述語論理の式」として、「妥当」である。
然るに、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「式」は、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（08）
１　（１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）　Ａ
　２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（３）　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　Ｆｂ→Ｇｂ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ→Ｇｃ　　１＆Ｅ
　２（６）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（７）　　　　Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６ＭＰＰ
　２（８）　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（９）　　　　　　　　　　　　Ｇｂ　　　　　　　　　　４８ＭＰＰ
　２（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　２＆Ｅ
１２（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇｃ　　５アＭＰＰ
１２（ウ）　Ｇａ＆Ｇｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　７９＆Ｉ
１２（エ）　Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ　　　　　　　　　　　　　　　イウ＆Ｉ
１　（オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）　　　２エＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、「妥当」である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」に「等しく」、尚且つ、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、２つとも、「妥当」である。
然るに、
（11）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」により、
③（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（12）
③（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、
③（～Ｆａ）だけが「真（本当）」であって、
③（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）が「偽（ウソ）」であっても「真」である。
然るに、
（12）により、
（13）
（ⅲ）
１（１）～Ｆａ　　　　Ａ
１（２）～Ｆａ∨Ｇａ　１∨Ｉ
１（３）　Ｆａ→Ｇａ　２含意の定義
従って、
（13）により、
（14）
③（～Ｆａ）　　だけが「真」であるならば、
③（Ｆａ→Ｇａ）だけが「真」であって、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
といふ「３つ」が「３つとも真」になる。といふことは、無い。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）├（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
従って、
（10）（15）により、
（16）
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
然るに、
（17）
（ⅲ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＵＩ
１２（４）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　６ＵＩ
然るに、
（17）により、
（18）
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＵＩ
に関しては、「ＵＩ」の「規則」に対する、「違反」である。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
いづれにせよ、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
然るに、
（20）
〈公理〉
Ａ３．□（α⊃β）⊃ （□Ｆｘ⊃□Ｇｘ）
（大窪徳行・田畑博敏、論理学の方法、1994年、１９２頁改）
然るに、
（21）
Ａ３．□（α⊃β）⊃ （□Ｆｘ⊃□Ｇｘ）
といふ「表記」は、
Ａ３．□（α→β）├ （□α⊃□β）
といふ風に書いても、「同じこと」である。
従って、
（02）（19）（20）（21）により、
（22）
① 　□（Ｆｘ→Ｇｘ）├ 　　　□Ｆｘ→□Ｇｘ
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は「様相論理の式」であって、「逆は、成立せず」、
② は「述語論理の式」であって、「逆は、成立しない」。
従って、
（20）により、
（21）
① 　□（Ｆｘ→Ｇｘ）├ 　　　□Ｆｘ→□Ｇｘ
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於ける、
①「様相論理の、□（必然的）」といふ「記号」は、
②「述語論理の、∀（全ての）」といふ「記号」の、「仲間」であると、思はれる。
令和０２年１１月０２日、毛利太。