「述語論理」も「様相論理」である（？）。

　―「昨日（令和０２年１０月３０日）の記事」と、内容が、一部、重なります。―
（01）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
（02）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁改）
然るに、
（03）
記号で書けば、Ｒは、
　　∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの好であるならば、ｂはａの親ではないからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２）
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、実際には、
① ∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］
といふ風に、書くのが「正しい」。
従って、
（05）
①　 ∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
に対する「否定」である所の、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、実際には、
① ～｛∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］｝
といふ風に、書くのが「正しい」。
然るに、
（06）
① ～｛∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］｝
といふ風に書くのは、「煩はしい」。
従って、
（05）（06）により、
（07）
これまで通り、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ風に、書くものの、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「式」自体は、飽くまでも、
① ～｛∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］｝
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
といふことは、例へば、
① ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる『可能性』がある。
といふ、ことである。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　（１）～∀ｘ∀ｙ（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∀ｙ（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∃ｙ～（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　１量化子の関係
　４　（４）　　∃ｙ～（　好ａｙ→～好ｙａ）　Ａ
　　５（５）　　　　～（　好ａｂ→～好ｂａ）　Ａ
　　５（６）　　　　～（～好ａｂ∨～好ｂａ）　５含意の定義
　　５（７）　　　　　（　好ａｂ＆　好ｂａ）　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　∃ｙ（　好ａｙ＆　好ｙａ）　７ＥＩ
　４　（９）　　　∃ｙ（　好ａｙ＆　好ｙａ）　４５８ＥＥ
　４　（ア）　∃ｘ∃ｙ（　好ｘｙ＆　好ｙｘ）　９ＥＩ
１　　（イ）　∃ｘ∃ｙ（　好ｘｙ＆　好ｙｘ）　１４アＥＥ
（ⅵ）
１　　（１）　∃ｘ∃ｙ（　好ｘｙ＆　好ｙｘ）　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（　好ａｙ＆　好ｙａ）　Ａ
　　３（３）　　　　　（　好ａｂ＆　好ｂａ）　Ａ
　　３（４）　　　　～（～好ａｂ∨～好ｂａ）　３ド・モルガンの法則
　　３（５）　　　　～（　好ａｂ→～好ｂａ）　４含意の定義
　　３（６）　　∃ｙ～（　好ａｙ→～好ｙａ）　５ＥＩ
　２　（７）　　∃ｙ～（　好ａｙ→～好ｙａ）　２３６ＥＥ
　２　（８）∃ｘ∃ｙ～（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　７ＥＩ
１　　（９）∃ｘ∃ｙ～（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　１２８ＥＥ
１　　（ア）∃ｘ～∀ｙ（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　９量化子の関係
１　　（イ）～∀ｘ∀ｙ（　好ｘｙ→～好ｙｘ）　ア量化子の関係
従って、
（10）により、
（11）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② 　∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆　好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
②｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
②｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（13）
「ド・モルガンの法則」により、
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」は、
③ ～〈～｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆～｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆～｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
（14）
「ド・モルガンの法則」により、
③ ～〈～｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆～｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆～｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「式」は、
④ ～〈｛～（好ａａ＆好ａａ）＆～（好ａｂ＆好ｂａ）＆～（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆｛～（好ｂａ＆好ａｂ）＆～（好ｂｂ＆好ｂｂ）＆～（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆｛～（好ｃａ＆好ａｃ）＆～（好ｃｂ＆好ｂｃ）＆～（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
（15）
「ド・モルガンの法則」により、
④ ～〈｛～（好ａａ＆好ａａ）＆～（好ａｂ＆好ｂａ）＆～（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆｛～（好ｂａ＆好ａｂ）＆～（好ｂｂ＆好ｂｂ）＆～（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆｛～（好ｃａ＆好ａｃ）＆～（好ｃｂ＆好ｂｃ）＆～（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「等式」は、
④ ～〈｛（～好ａａ∨～好ａａ）＆（～好ａｂ∨～好ｂａ）＆（～好ａｃ∨～好ｃａ）｝＆｛（～好ｂａ∨～好ａｂ）＆（～好ｂｂ∨～好ｂｂ）＆（～好ｂｃ∨～好ｃｂ）｝＆｛（～好ｃａ∨～好ａｃ）＆（～好ｃｂ∨～好ｂｃ）＆（～好ｃｃ∨～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
（16）
「含意の定義」により、
④ ～〈｛（～好ａａ∨～好ａａ）＆（～好ａｂ∨～好ｂａ）＆（～好ａｃ∨～好ｃａ）｝＆｛（～好ｂａ∨～好ａｂ）＆（～好ｂｂ∨～好ｂｂ）＆（～好ｂｃ∨～好ｃｂ）｝＆｛（～好ｃａ∨～好ａｃ）＆（～好ｃｂ∨～好ｂｃ）＆（～好ｃｃ∨～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」は、
⑤ ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」は、
⑤ ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（18）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
⑤｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
⑤｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
⑤ ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
従って、
（11）（12）（18）により、
（19）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② 　∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆　好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。 といふことは、
①｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
②｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
① ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
に於いて、
①＝② である。 といふことに、他ならない。
然るに、
（20）
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」は、
（ⅰ）（好ａａ＆好ａａ）
（ⅱ）（好ａｂ＆好ｂａ）
（ⅲ）（好ａｃ＆好ｃａ）
（ⅳ）（好ｂａ＆好ａｂ）
（ⅴ）（好ｂｂ＆好ｂｂ）
（ⅵ）（好ｂｃ＆好ｃｂ）
（ⅶ）（好ｃａ＆好ａｃ）
（ⅷ）（好ｃｂ＆好ｂｃ）
（ⅸ）（好ｃｃ＆好ｃｃ）
といふ「９通り」の内の、「少なくとも、１個（、多ければ、９個）」が「真（本当）」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（20）により、
（21）
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
が「真（本当）」である場合は、
（ⅱ）（好ａｂ＆好ｂａ）≡（ａはｂが好きであり、ｂもａが好きである。）
（ⅳ）（好ｂａ＆好ａｂ）≡（ｂはａが好きであり、ａもｂが好きである。　
といふ「２通り」が、「真（本当）」であることが『可能』である。
従って、
（09）（19）（20）（21）
（22）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② 　∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆　好ｙｘ）
に於いて、
①＝② であるが故に、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）⇔
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
といふことは、
①｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる。｝といふ『可能性』がある。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（23）
　私の場合は、「様相論理」のことは、「何も知らない」に等しいものの、
「大窪徳行・田畑博敏、論理学の方法、1994年、１９２頁」を見ると、
　《形成規則》 Ⅰ　記号規則
　（１）文論理の記号
　（２）□（必然と読む）
Ⅲ　定義
　ＤＳ2‐1　　◇α＝df～□～α（◇を可能と読む）
といふ風に、書かれてゐる。
従って、
（23）により、
（24）
「様相論理」の場合は、
「αであることが、可能である。」　といふことを、
「αでないことが、必然ではない。」といふ風に、「定義」してゐる。
然るに、
（22）により、
（25）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）⇔
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
の場合は、
① 　∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）⇔
① すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）
に対する「否定」である。
然るに、
（26）
① すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）
といふのであれば、
①｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる。｝といふ『可能性』は、「０％」である。
従って、
（26）により、
（27）
① すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）
といふのであれば、『必然的』に、
① ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってはくれない。
従って、
（25）（26）（27）により、
（28）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② 　∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆　好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
①｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君が、「ａさんを好きである。」とは、言はない。｝といふことが、『必然』ではない。
②｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる。｝といふことは、『可能』である。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、「等しい」。
従って、
（22）～（28）により、
（29）
「様相論理」が、
「αであることが、可能である。」　といふことを、
「αでないことが、必然ではない。」といふ風に、「定義」してゐる。
といふことと、「述語論理」に於いて、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② 　∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆　好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことの間には、「同じやうな関係」が有る。
といふ風に、言へさうである。
令和０２年１０月３１日、毛利太。