∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）

（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１１１
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＥＩ
　２（５）　　　　　　Ｇａ　　　　　　２＆Ｅ
　２（６）　　　∃ｘ（Ｇａ）　　　　　５ＥＩ
　２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　４６＆Ｉ
１　（８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　１２７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１　　　　（１）（Ｆａ＆Ｇａ）∨　（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）　　Ａ
１　　　　（２）（Ｆａ＆Ｇａ）∨｛（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）｝　１結合法則
　３　　　（３）（Ｆａ＆Ｇａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（５）　Ｆａ∨Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
　３　　　（６）　Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　５∨Ｉ
　３　　　（７）　　　　Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（８）　　　　Ｇａ∨Ｇｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　７∨Ｉ
　３　　　（９）　　　　Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ　　　　　　　　　　　　　　８∨Ｉ
　３　　　（ア）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　　　　　６９＆Ｉ
　　イ　　（イ）　　　　　　　　　（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）　　Ａ
　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　Ｆｂ＆Ｇｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ　（エ）　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　ウ　（オ）　　　　　　　　　　Ｆａ∨Ｆｂ　　　　　　　　　　　エ∨Ｉ
　　　ウ　（カ）　　　　　　　　　　Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ　　　　　　　　オ∨Ｉ
　　　ウ　（キ）　　　　　　　　　　　　　Ｇｂ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　ウ　（ク）　　　　　　　　　　Ｇａ∨Ｇｂ　　　　　　　　　　　キ∨Ｉ
　　　ウ　（ケ）　　　　　　　　　　Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ　　　　　　　　ク∨Ｉ
　　　ウ　（コ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　　　　　カケ＆Ｉ
　　　　サ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ＆Ｇｃ　　　Ａ
　　　　サ（シ）　　　　 Ｆｃ　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　サ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ∨Ｆｃ　　　　　　シ∨Ｉ
　　　　サ（セ）　　　　　　　　　　　　Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ　　　　　　ス∨Ｉ
　　　　サ（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇｃ　　　サ＆Ｅ
　　　　サ（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇｂ∨Ｇｃ　　　ソ∨Ｉ
　　　　サ（チ）　　　　　　　　　　　　　　　Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ　　　タ∨Ｉ
　　　　サ（ツ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　　　　　セチ＆Ｉ
　　イ　　（テ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　　　　　イウコサツ∨Ｅ
１　　　　（ト）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　　　　　２３アイテ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
ｃｆ.
「述語計算」は「命題計算」の「拡張」であるが、「（１）～（ト）」は、「命題計算の規則」だけを用ひてゐる。従って、以上に示した「（１）～（ト）」は「命題計算」である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ　　　　　　　＆　　　　Ｇｂ　　　）
に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
といふ「３つの選言支」の中に、
③（Ｆａ＆Ｇｂ）
といふ「選言支」は無い。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ　　　　　　　＆　　　　Ｇｂ　　　）
に於いて、
①と③ が、「同時に、真になる」ことはない。
然るに、
（05）
「∨のマトリックス（真理表）」と、「＆のマトリックス（真理表）」により、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ　　　　　　　＆　　　　Ｇｂ　　　）
に於いて、
②と③ が、「同時に、真になる」ことは、「可能」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ　　　　　　　＆　　　　Ｇｂ　　　）
に於いて、
①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、
②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「　可能」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
② ならば、① である。
とは、限らない。
従って、
（02）（05）（06）（07）により、
（08）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
　１１１　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に対して、
逆の連式　∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） は妥当ではない。
― 中略、―
この連式を証明しようとする自然な試みが、ＥＥ に対する制限に照らして、どのようにして失敗に帰するかを見ておくことは有益である。われわれは次のように証明をはじめるであろう。
１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１＆Ｅ
　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　４５（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　　　　４５＆Ｉ
　４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは代表的選言項（４）および（５）を仮定して、それらから結論 ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） を導出した。しかし ＥＥ を適用するどのようなくわだても、（２）を用いるにせよ（３）を用いるにせよ、こんどはうまく行かない。（７）の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれも「ａ」が現れているからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁改）
従って、
（01）～（11）により、
（12）
いづれにせよ、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（13）
Ｆ＝フランス人
Ｇ＝学生
とするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
とするならば、当然、
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（ギイ）もゐる。
然るに、
（15）
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（カトリーヌ）もゐる。
としても、
② ギイ≠カトリーヌ
であって、
② ギイ＝カトリーヌ
ではないのであれば、
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
といふことには、ならない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」が、例へば、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」であったとしても、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
令和０２年１０月０１日、毛利太。