「鼻は象が長い」の「述語論理」の「展開」。

（01）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は、象ではないが鼻が有る。　　　従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は長くない。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」と書くと、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。　　　　　　　　　　　　　　　従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　５　　（５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　（６）　　∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　７（７）　　　　　兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　７（８）　　　　　兎ｂ＆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　　７（９）　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　　７（ア）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　　７（イ）　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　アＤＮ
　３　　７（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆　長ａ）　　　　　　４イＭＴＴ
　３　　７（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　ウ、ド・モルガンの法則
　３　　７（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　エ含意の定義
　３　　７（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　９オＭＰＰ
　　　　７（キ）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８ア＆Ｉ
　３　　７（ク）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　カキ＆Ｉ
　３　　７（ケ）　　∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　クＥＩ
　３　６　（コ）　　∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７ケＥＥ
　３　６　（サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　３５　　（シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　５６サＥＥ
１　５　　（ス）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　１３シＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝，∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）├ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）
といふ「推論（連式）」は、果たして、「妥当」である。
然るに、
（05）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）　［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］
（ⅱ）｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝＆｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝
（ⅲ）｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（04）（05）により、
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
といふ「日本語」を、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ風に、
② ∀ｘ∃ｙ
といふ「量記号（quantifiers）」を用ひて、「翻訳」すべきであると、「感じた」のは、
①｛ｘ│ｘは鼻である。｝
といふ「集合」の、「真部分集合」として、
②｛ｙ│ｙは象の鼻である。｝
といふ「集合」があるためである。
然るに、
（07）により、
（08）
さうだとすると、
ｎ（鼻）＝「鼻といふ集合の要素の個数」は、必ず、
ｎ（象）＝「象といふ集合の要素の個数」よりも、「多い」ことになる。
従って、
（06）（08）により、
（09）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
といふ風に、
ｎ（鼻）＝ｎ（象）
であるのは、「マズイ」のであって、例へば、
鼻＝｛α，β，γ，δ，ε，｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝　　　　　　　は「集合」である。
といふに、
ｎ（鼻）＞ｎ（象）
でなければ、ならない。
従って、
（06）（09）により、
（10）
「厳密」には、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
といふ風には、言へない。
（11）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「翻訳」もさうであるやうに、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
令和０２年１０月０５日、毛利太。