「述語論理」と「日本語の主語」について。

（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ、「意味」である。
然るに、
（04）
「＆（そして）」と「∨（または）」の「働き」からすれば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、明らかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
（05）
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ　　　　　　　　）＆（　　　　愛ｂｂ　　　　）＆（　　　　　　　　愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが。
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　（１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｘ（愛ｘｂ）　Ａ
　２（３）　　　　　愛ａｂ　　２ＵＥ
　２（４）　　∃ｙ（愛ａｙ）　２ＥＩ
　２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　１２５ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｙ（愛ａｙ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　（愛ａｂ）　Ａ
　３（４）　　∀ｘ（愛ｘｂ）　３ＵＩ
　３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）　１３５ＥＥ
然るに、
（06）により、
（07）
　 （ⅱ）
　３（３）　　　　（愛ａｂ）　Ａ
　３（４）　　∀ｘ（愛ｘｂ）　３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
いづれにせよ、
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ「意味」であって、尚且つ、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる「少なくとも２つの箇所」を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
然るに、
（10）
括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（03）（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人はすべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ「述語論理式」は、「量記号の作用範囲（scope）」といふことからすれば、それぞれ、
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
といふ風に、書くのが、「正しい」。
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
に於ける、「２つの右辺」にしても、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
といふ「括弧（scope）」が、有るに、違ひ無い。
然るに、
（13）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
それぞれ、「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる。
然るに、
（14）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
は、「２つ」とも、「常識的」には、「主語」と言ふ。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝≡∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝　　　　≡∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝。
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 鼻は｛象が長い｝≡∀ｘ｛∃ｙ［鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）］｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
③ 象は
④ 鼻は
は、それぞれ、
①｛すべての人によって愛されてゐる｝。
②｛ある人を愛してゐる｝。
③｛鼻が長い｝。
④｛象が長い｝。
に対する、「主語」である。
然るに、
（16）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである。
（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）
（17）
　三、主語から主題へ
「主語」を廃止しようというのは、この用語のままでは困るからである。
（三上章、日本語の論理、1963年、１４８頁）
然るに、
（18）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　　（〃）象は、鼻が長い。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　２　　　　（〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ
１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ
１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ
１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ
　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
１２　　　　（〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。　　ナＵＩ
１２　　　　（〃）兎は、象ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
従って、
（15）～（18）により、
（19）
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」は、「正しく」、それ故、
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
③ 象は｛鼻が長い｝。
に於ける「主語」は、明らかに、
③ 象は
であるといふことになり、そのため、「少しも、困らない。」
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）、毛利太。