「∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）」等の「展開」。

（01）
練習問題　１
１　つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１７４頁）

〔（私の）解答〕：
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
１（１）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）　Ａ
１（２）　　∀ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ）　１ＵＥ
１（３）　　　　∀ｚ（Ｆａｂｚ）　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　Ｆａｂｃ　　３ＵＥ
１（５）　　　　∀ｘ（Ｆｘｂｃ）　４ＵＩ
１（６）　　∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｃ）　５ＵＩ
１（７）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）　６ＵＩ

（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）　Ａ
１　（２）　　∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ）　１ＵＥ
　２（３）　　　　∀ｚ（Ｆａｂｚ）　Ａ
　２（４）　　　　　　　Ｆａｂｃ　　１ＵＥ
　２（５）　　　　∃ｙ（Ｆａｙｃ）　４ＥＩ
　２（６）　　∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ）　５ＵＩ
１　（７）　　∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ）　１２６ＥＥ
１　（８）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）　７ＵＩ

（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
１　　（１）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）　Ａ
　２　（２）　　∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ）　Ａ
　　３（３）　　　　∀ｚ（Ｆａｂｚ）　Ａ
　　３（４）　　　　　　　Ｆａｂｃ　　３ＵＥ
　　３（５）　　　　∃ｘ（Ｆｘｂｃ）　４ＥＩ
　２　（６）　　　　∃ｘ（Ｆｘｂｃ）　２３５ＥＥ
　２　（７）　　∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｃ）　６ＥＩ
　２　（８）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）　７ＵＩ
１　　（９）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）　１２８ＥＥ

然るに、
（02）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ）　　Ｆｘｙｚ
（ⅱ）　　Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ）　　Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ）　（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）＆（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ）　（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝

（α）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ）　　Ｆｘｙｚ
（ⅱ）　　Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ）　　Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ
（ⅳ）　（Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）＆（Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）
（ⅴ）　（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝

（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の）、連言。
（ⅰ）　　Ｆｘｙｚ
（ⅱ）　　Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ）　　Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ）　（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ）　（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝

（β）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）：（（選言の）、連言の）、連言。
（ⅰ）　　Ｆｘｙｚ
（ⅱ）　　Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ）　　Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ
（ⅳ）　（Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）＆（Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）
（ⅴ）　（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝

（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の、）選言。
（ⅰ）　　Ｆｘｙｚ
（ⅱ）　　Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ）　　Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ）　（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ）　（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝

（γ）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）：（選言の）、選言の、）連言。
（ⅰ）　　Ｆｘｙｚ
（ⅱ）　　Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ）　　Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ
（ⅳ）　（Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）∨（Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）
（ⅴ）　（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝

従って、
（03）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「連式（sequents）」は、｛ａ，ｂ｝のみを含む、「２つの対象」から成る「世界」に於いて、それぞれ、

（ａ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝┤├
（α）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝

（ｂ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（β）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝

（ｃ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（γ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝

といふ「連式（sequents）」に「相当」し、尚且つ、「これらの連式」は、３つとも、「妥当」である。

従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「３つの連式（sequents）」すなはち、
（ａ）├ （α）
（ｂ）├ （β）
（ｃ）├ （γ）
といふ「３つの連式（sequents）」が「妥当」である「所以」は、すべて、
① Ｐ＆Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ）
② Ｐ∨Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「非妥当（インバリッド）」である、からである。
ｃｆ.
（ⅰ）
１（１）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　Ｑ∨Ｐ　　４∨Ｉ
１（６）　　　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ）　３５＆Ｉ
　（７）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ）　１６ＣＰ
令和０２年０６月０８日、毛利太。