「∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）」と「∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）」の「展開と計算」。

（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
（ⅰ）
１　（１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｘ（愛ｘｂ）　Ａ
　２（３）　　　　　愛ａｂ　　２ＵＥ
　２（４）　　∃ｙ（愛ａｙ）　２ＥＩ
　２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　１２５ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
（ⅰ）
１　　　　（１）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨　（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）　　Ａ
１　　　　（２）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝　１結合法則
　３　　　（３）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）　愛ａａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（５）　愛ａａ∨愛ａｂ∨　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
　３　　　（６）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５∨Ｉ
　３　　　（７）　　　　　愛ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（８）　　　　　愛ｂａ∨愛ｂｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７∨Ｉ
　３　　　（９）　　　　（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８∨Ｉ
　３　　　（ア）　　　　　　　　　愛ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（イ）　　　　　　　　　愛ｃａ∨愛ｃｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア∨Ｉ
　３　　　（ウ）　　　　　　　　（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ∨Ｉ
　３　　　（エ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　６９＆Ｉ
　３　　　（オ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　ウエ＆Ｉ
　　カ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝　　Ａ
　　　キ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　キ　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　　　キ　（ケ）　　　　　　　　　　　愛ａａ∨愛ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ク∨Ｉ
　　　キ　（コ）　　　　　　　　　　（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ∨Ｉ
　　　キ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｂｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　　　キ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ∨愛ｂｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ∨Ｉ
　　　キ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　シ∨Ｉ
　　　キ　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｃｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　　　キ　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｃｂ∨愛ｃｃ　　　　　　　　　　　　　　セ∨Ｉ
　　　キ　（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　　　　　　　　　　　ソ∨Ｉ
　　　キ　（チ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　コス＆Ｉ
　　　キ　（ツ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　タチ＆Ｉ
　　　　テ（テ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）　　　Ａ
　　　　テ（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｃ　　　　　　　　　　　　テ＆Ｅ
　　　　テ（ナ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｂ∨愛ａｃ　　　　　　　　　　　　ト∨Ｉ
　　　　テ（ニ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）　　　　　　　　　　　ナ∨Ｉ
　　　　テ（ヌ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｂｃ　　　　　　　　ニ＆Ｅ
　　　　テ（ネ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｂｂ∨愛ｂｃ　　　　　　　　ヌ∨Ｉ
　　　　テ（ノ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）　　　　　　　ネ∨Ｉ
　　　　テ（ハ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｃｃ　　　　テ＆Ｅ
　　　　テ（ヒ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ｃｂ∨愛ｃｃ　　　　ハ∨Ｉ
　　　　テ（フ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　ヒ∨Ｉ
　　　　テ（ヘ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　ニノ＆Ｉ
　　　　テ（ホ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　フヘ＆Ｉ
　カ　　　（マ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　カキツテホ∨Ｅ
１　　　　（ミ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　　　２３オカマ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
然るに、
（02）により、
（04）
　　 （ⅱ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｙ（愛ａｙ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　（愛ａｂ）　Ａ
　３（４）　　∀ｘ（愛ｘｂ）　３ＵＩ
　３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）　１３５ＥＥ
といふ「述語計算（？）」は、
（ⅱ）
１　（１）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）　Ａ
１　（２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３（３）　　　　　愛ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３（４）　愛ａａ＆愛ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３３＆Ｉ？
　３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３３＆Ｉ？
　３（５）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）　　　　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
　３（６）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）　５∨Ｉ
といふ「命題計算（？）」に、「相当」する。
然るに、
（05）
（ⅱ）
　３（３）　　　　（愛ａｂ）　Ａ
　３（４）　　∀ｘ（愛ｘｂ）　３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」であって、尚且つ、
（ⅱ）
１　（２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３（３）　　　　　愛ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３（４）　愛ａａ＆愛ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３３＆Ｉ？
　３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３３＆Ｉ？
といふ「計算（？）」も、「デタラメ」であって、
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ　　　　　　　　）＆（　　　　愛ｂｂ　　　　）＆（　　　　　　　　愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが、
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
ｃｆ.
１　　　　（１）　　①→②　　Ａ
　２　　　（２）　　③→②　　Ａ
　　３　　（３）～（③＆①）　Ａ
　　　４　（４）　　②→①　　Ａ
　　　　５（５）　　③　　　　Ａ
　２　　５（６）　　　　②　　２５ＭＰＰ
　２　４５（７）　　　　① ４６ＭＰＰ
　２　４５（８）　（③＆①）　５７＆Ｉ
　２３４５（９）～（③＆①）＆
　　　　　　　　　（③＆①）
　２３　５（ア）～（②→①）　４９ＲＡＡ
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（07）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
の場合は、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）
であっても、「真」である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
であっても、「真」である。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
①（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
といふことは、
① ａといふ、ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
といふことに、他ならない。
然るに、
（10）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
の場合は、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）
であれば、「偽」であり、それ故、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
でなければ、「真」には、ならない。
然るに、
（11）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふことは、
②（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
②（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
②（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことであって、といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それそれ、
① ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
① 例へば、ａが、すべての人によって愛されてゐる。
といふのであれば、
② すべての人は、ある人（ａ）を愛してゐる。
然るに、
（14）
② すべての人が、ある人を愛してゐる。
としても、
② すべての人が、一人の、同じ人物（例へば、ａ）を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人は、すべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人が、ある人を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
令和０２年１０月０７日、毛利太。