「述語論理」に於ける「括弧（返り点）」の「省略」。

（01）
記号で書けば、Ｒは、
　　∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的（asymmetric）である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの親であるならば、ｂはａの親ではないからである。
The relationship of being a parent is asymmetric. Since, if a is a parent of b, then b is not a parent of a.
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２頁改）
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①　 ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
① は、「真（本当）」であるが、その「否定」である、
② は、「偽（ウソ）」である。
然るに、
（04）
｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
①｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
といふ風に、「展開（expand）」出来る。
従って、
（04）により、
（05）
① 　∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」に対して、その「否定」である、
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
といふ風に、「展開（expand）」出来る。
然るに、
（05）により、
（06）
「ド・モルガンの法則」により、
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
③ ～｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝∨～｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）∨（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）により、
（07）
「含意の定義」により、
③ ～｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝∨～｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）∨～（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
④ ～｛（～親ａａ∨～親ａａ）＆（～親ａｂ∨～親ｂａ）＆（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨～｛（～親ｂａ∨～親ａｂ）＆（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）＆（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝＆｛（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）＆（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）により、
（08）
「ド・モルガンの法則」により、
④ ～｛（～親ａａ∨～親ａａ）＆（～親ａｂ∨～親ｂａ）＆（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨～｛（～親ｂａ∨～親ａｂ）＆（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）＆（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝＆｛（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨～（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）＆（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
⑤ 　｛～（～親ａａ∨～親ａａ）∨～（～親ａｂ∨～親ｂａ）∨～（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨｛～（～親ｂａ∨～親ａｂ）∨～（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）∨～（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝∨｛～（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨～（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）∨～（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（08）により、
（09）
「ド・モルガンの法則」により、
⑤ ｛～（～親ａａ∨～親ａａ）∨～（～親ａｂ∨～親ｂａ）∨～（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨｛～（～親ｂａ∨～親ａｂ）∨～（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）∨～（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝∨｛～（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨～（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）∨～（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
⑥ ｛（親ａａ＆親ａａ）∨（親ａｂ＆親ｂａ）∨（親ａｃ＆親ｃａ）｝∨｛（親ｂａ＆親ａｂ）∨（親ｂｂ＆親ｂｂ）∨（親ｂｃ＆親ｃｂ）｝∨｛（親ｃａ＆親ａｃ）∨（親ｃｂ＆親ｂｃ）∨（親ｃｃ＆親ｃｃ）｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
⑥ 　　｛（親ａａ＆親ａａ）∨（親ａｂ＆親ｂａ）∨（親ａｃ＆親ｃａ）｝∨｛（親ｂａ＆親ａｂ）∨（親ｂｂ＆親ｂｂ）∨（親ｂｃ＆親ｃｂ）｝∨｛（親ｃａ＆親ａｃ）∨（親ｃｂ＆親ｂｃ）∨（親ｃｃ＆親ｃｃ）｝
に於いて、
②＝⑥ である。
然るに、
（11）
｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
⑥ 　　｛（親ａａ＆親ａａ）∨（親ａｂ＆親ｂａ）∨（親ａｃ＆親ｃａ）｝∨｛（親ｂａ＆親ａｂ）∨（親ｂｂ＆親ｂｂ）∨（親ｂｃ＆親ｃｂ）｝∨｛（親ｃａ＆親ａｃ）∨（親ｃｂ＆親ｂｃ）∨（親ｃｃ＆親ｃｃ）｝
といふ「式」は、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝〉
⑥ 　　∃ｘ｛∃ｙ（親ｘｙ＆　親ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」に、「相当」する。
然るに、
（12）
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝〉
⑥ 　  ∃ｘ｛∃ｙ（親ｘｙ＆　親ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、普通は、
②〈｛　｝〉
⑥　｛　｝
を「省略」して、
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
⑥ 　∃ｘ∃ｙ（親ｘｙ＆　親ｙｘ）
といふ風に、書く。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１　　（１）～∀ｘ∀ｙ（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∀ｙ（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∃ｙ～（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　１量化子の関係
　４　（４）　　∃ｙ～（　親ａｙ→～親ｙａ）　Ａ
　　５（５）　　　　～（　親ａｂ→～親ｂａ）　Ａ
　　５（６）　　　　～（～親ａｂ∨～親ｂａ）　５含意の定義
　　５（７）　　　　　（　親ａｂ＆　親ｂａ）　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　∃ｙ（　親ａｙ＆　親ｙａ）　７ＥＩ
　４　（９）　　　∃ｙ（　親ａｙ＆　親ｙａ）　４５８ＥＥ
　４　（ア）　∃ｘ∃ｙ（　親ｘｙ＆　親ｙｘ）　９ＥＩ
１　　（イ）　∃ｘ∃ｙ（　親ｘｙ＆　親ｙｘ）　１４アＥＥ
（ⅵ）
１　　（１）　∃ｘ∃ｙ（　親ｘｙ＆　親ｙｘ）　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（　親ａｙ＆　親ｙａ）　Ａ
　　３（３）　　　　　（　親ａｂ＆　親ｂａ）　Ａ
　　３（４）　　　　～（～親ａｂ∨～親ｂａ）　３ド・モルガンの法則
　　３（５）　　　　～（　親ａｂ→～親ｂａ）　４含意の定義
　　３（６）　　∃ｙ～（　親ａｙ→～親ｙａ）　５ＥＩ
　２　（７）　　∃ｙ～（　親ａｙ→～親ｙａ）　２３６ＥＥ
　２　（８）∃ｘ∃ｙ～（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　７ＥＩ
１　　（９）∃ｘ∃ｙ～（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　１２８ＥＥ
１　　（ア）∃ｘ～∀ｙ（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　９量化子の関係
１　　（イ）～∀ｘ∀ｙ（　親ｘｙ→～親ｙｘ）　ア量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
⑥ 　∃ｘ∃ｙ（親ｘｙ＆　親ｙｘ）
に於いて、
②＝⑥ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、「括弧」を「省略」しないのであれば、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝〉
といふ風に、書かなければ、ならない。
然るに、
（16）
Ｆａ　または（　）を省略して　Ｆａ
というように書く。こうすれば「ａ」の位置にくる語（名詞、代名詞等）は主語を、「Ｆ」の位置に語（名詞、形容詞、動詞等）は述語を表わすことになる。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１１６頁）
然るに、
（17）
② 　親ｘｙ は、（ｘ）ではなく、（ｘとｙ）に関する「命題関数」であって、
② ～親ｙｘ は、（ｙ）ではなく、（ｙとｘ）に関する「命題関数」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
② 　親ｘｙ といふ「命題関数」は、　親（ｘｙ） と書くのが「正しく」、
② ～親ｙｘ といふ「命題関数」は、～親（ｘｙ） と書くのが「正しい」。
然るに、
（19）
② ～親（ｘｙ） は、
② 　親 の「否定」ではなく、
②　 親（ｘｙ） の、「否定」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
②   親ｘｙ
② ～親ｙｘ
といふ「命題関数」は、実際には、
② 　  親（ｘｙ）
② ～〔親（ｙｘ）〕
といふ風に、書くのが「正しい」。
従って、
（15）（20）により、
（21）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、「括弧」を「省略」しないのであれば、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉
といふ風に、書かなければ、ならない。
然るに、
（22）
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉
に於いて、
② 　～〈　〉⇒〈　〉～
② ∀ｘ｛　｝⇒｛　｝∀ｘ
② ∀ｙ［　］⇒［　］∀ｙ
② 　親（　）⇒（　）親
②　 ～〔　〕⇒〔　〕～
②　 親（　）⇒（　）親
といふ「移動」を行ふと、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉⇒
② 〈｛［（ｘｙ）親→〔（ｙｘ）親〕～］∀ｙ｝∀ｘ〉～＝
② 〈｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
といふ、「語順」になる。
然るに、
（23）
②〈｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
といふことは、
② ｘがｙの親であって、ｙもｘの親である。
といふことを、「否定」していゐないため、「明らかに、偽」である。
然るに、
（24）
②〈｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
に対して、
③〈｛［（ｘがｙを）愛してゐるならば〔（ｙはｘを）愛して〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
の場合は、「明らかに、真」である。
従って、
（21）～（24）により、
（25）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
③ ～∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ→～愛ｙｘ）
といふ「述語論理式」には、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
といふ「括弧」が付いてゐるが故に、
② は「偽（ウソ）」であって、
③ は「真（本当）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（26）
③ ～∀ｘ∀ｙ愛ｘｙ→～愛ｙｘ。
に対して、
③ ～_レ∀‐ｘ_レ∀‐ｙ_下愛_二ｘｙ_一→～_上レ愛_二ｙｘ_一。
といふ「返り点」を付けるならば、この場合も、
③〈｛［（ｘがｙを）愛してゐるならば〔（ｙはｘを）愛して〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
といふ「語順」で、読むことなる。
従って、
（21）～（26）により、
（27）
③ ～_レ∀‐ｘ_レ∀‐ｙ_下愛_二ｘｙ_一→～_上レ愛_二ｙｘ_一。
といふ「返り点」は、
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
といふ「括弧」に、「相当」する。
然るに、
（28）
「正しく」は、
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
であったとしても、
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
と書くのは、「煩わしい」し、
③ ～_レ∀‐ｘ_レ∀‐ｙ_下愛_二ｘｙ_一→～_上レ愛_二ｙｘ_一。
といふ風に、書かうと思ふ人間はゐない。
従って、
（29）
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
③ ～_レ∀‐ｘ_レ∀‐ｙ_下愛_二ｘｙ_一→～_上レ愛_二ｙｘ_一。
といふ風には、書かれずに、
③ ～∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ→～愛ｙｘ）
といふ風に書くことが、「習慣」になってゐる。
令和０２年１０月３０日、毛利太。