「不思議な恒真式（Ｐならば、Ｐでないならば、Ｐである）」について。

（01）
　―「冪等律」の「証明」。―
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ｐ
　（２）Ｐ∨Ｐ　１∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨Ｐ　Ｐ
　２　（２）Ｐ　　　Ｐ
　　３（３）　　Ｐ　Ｐ
１　　（４）Ｐ　　　１２２３３∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①　　 Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝② は、「冪等律」である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　（１） 　 Ｐ∨Ｐ　Ｐ
　２　（２）　　Ｐ　　　Ｐ
　２　（３）～～Ｐ　　　２ＤＮ
　２　（４）～～Ｐ∨Ｐ　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　Ｐ　Ｐ
　　５（６）～～Ｐ∨Ｐ　５∨Ｉ
（ⅲ）
１　　（１）～～Ｐ∨Ｐ　Ｐ
　２　（２）～～Ｐ　　　Ｐ
　２　（３）　　Ｐ　　　２ＤＮ
　２　（４）　　Ｐ∨Ｐ　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　Ｐ　Ｐ
　　５（６）　　Ｐ∨Ｐ　５∨Ｉ
１　　（７）　　Ｐ∨Ｐ　１２４５６∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
①　　 　　Ｐ≡Ｐである。
② 　　Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ は、「冪等律」である。
然るに、
（05）
　―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２　（イ）　　（～Ｐ∨Ｑ）　２ア＆Ｉ
１　　（ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２イＲＡＡ
１　　（エ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　ウＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ 　Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ は、「含意の定義」である。
従って、
（06）により、
（07）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ 　Ｐ→Ｑ
に於いて、
　Ｐ＝～Ｐ
　Ｑ＝　Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～～Ｐ∨Ｐ
④ 　～Ｐ→Ｐ
に於いて、
④＝⑤ は、「含意の定義」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
①　　 　　Ｐ≡Ｐである。
② 　　Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである。
④ 　～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「冪等律・含意の定義」である。
従って、
（08）により、
（09）
①　　 　Ｐ≡Ｐである。
② ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② といふ「等式」を、「冪等律・含意の定義」とする。
然るに、
（10）
　―「排中律」の「証明」。―
１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～～Ｐ　　　　　４ＲＡＡ
１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ
　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
従って、
（10）により、
（11）
③ ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでないか、または、Ｐである。
といふ「論理式（排中律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
（１）～Ｐ∨Ｐ　ＴＩ（排中律）
（２）　Ｐ→Ｐ　１含意の定義
（ⅱ）
（１）　Ｐ→Ｐ　ＴＩ（同一律）
（２）～Ｐ∨Ｐ　１含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
① ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
②　 Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、　　Ｐである（同一律）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
　　（１）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　ＴＩ（排中律）
２　（２）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
２　（３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　２∨Ｉ
２　（４）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　３含意の定義
　５（５）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　５（６）　　　（～Ｐ→Ｐ）　５冪等律・含意の定義
　５（７）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　６∨Ｉ
　５（８）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　７含意の定義
　　（９）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　１２４５８∨Ｅ
（ⅲ）
　　（１）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　ＴＩ（定理導入の規則）
　　（２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１含意の定義
３　（３）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
３　（４）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　３∨Ｉ
　５（５）　　　　～Ｐ→Ｐ　　Ａ
　５（６）　　　　　Ｐ　　　　５冪等律・含意の定義
　５（７）　　～Ｐ∨Ｐ　　　　６∨Ｉ
　　（８）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　２３４５７∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① 　　　 ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（13）（15）により、
（16）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ  ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
②　　　　 Ｐ→Ｐ  ≡Ｐであるならば、　　Ｐである（同一律）。
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→（　Ｐ 　 ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
然るに、
（08）により、
（18）
もう一度、確認すると、
①　　 　　Ｐ≡Ｐである。
② 　　Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でないか、あるか、または、Ｐである。
④ 　～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「冪等律・含意の定義」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
①（　Ｐ  　）≡　Ｐである。
④（～Ｐ→Ｐ）≡（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ であるが故に、必然的に、
① Ｐ→（　Ｐ  　）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
といふ「恒真式（トートロジー）」が、「奇異」に感じられるのは、
①（　Ｐ  　）≡　Ｐである。
④（～Ｐ→Ｐ）≡（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ であるにも拘らず、
①＝④ であるやうには、思へないからである。
然るに、
（21）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於ける「ならば」を、「質料含意（material implication）」と言ひ、「質量含意」の場合は、「含意の定義」により、
（ⅰ）「Ｐ」が「偽」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」であり、
（ⅱ）「Ｑ」が「真」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」である。
従って、
（21）により、
（22）
①（　Ｐ 　 ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
① Ｐ が「真」である。
② Ｐ が「真」である。
とすると、
①（　真 　 ）
④（～真→真）≡（偽→真）
に於いて、
① は「真」であり、
② も「真」である。
（23）
①（　Ｐ  　）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
① Ｐ が「偽」である。
② Ｐ が「偽」である。
とすると、
①（　偽  　）
④（～偽→偽）≡（真→偽）
に於いて、
① は「偽」であり、
② も「偽」である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於ける「ならば」を、「質料含意（material implication）」であると「決めた、結果」として、
①（　Ｐ  　）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
①＝④ である。
といふことになり、更に、「その結果」として、
① Ｐ→（　Ｐ 　 ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
といふことになる。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐ→（　Ｐ  　）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
といふことを、「否定」したいのであれば、
（ⅰ）「Ｐ」が「偽」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」であり、
（ⅱ）「Ｑ」が「真」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」である。
といふ「質料含意（material implication）の定義」を、「否定」しなければ、ならない。
令和０２年１０月２８日、毛利太。