(01)
{a,b,c}のみを含む、「3つの対象」から成る「世界」に於いて、
1 (1)∀x(象x→動物x) A
2 (2)∃x(象x) A
1 (3) 象a→動物a 1UE
4(4) 象a A
1 4(5) 動物a 34MPP
1 4(6) 象a&動物a 45&I
1 4(7)∃x(象x&動物x) 6EI
12 (8)∃x(象x&動物x) 247EE
12 (〃)象といふ動物がゐる。 247EE
といふ「述語計算(Predicate calculus)」は、
1 (1)(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c) A
2 (2)(象a∨象b∨象c) A
1 (3)(象a→動物a) 1&E
1 (4)(象b→動物b) 1&E
1 (5)(象c→動物c) 1&E
2 (6) 象a∨(象b∨象c) 2結合法則
7 (7) 象a A
1 7 (8) 動物a 37MPP
1 7 (9) 象a&動物a 78&I
1 7 (ア)(象a&動物a)∨(象b&動物b) 9∨I
1 7 (イ)(象a&動物a)∨(象b&動物b)∨(象c&動物c) ア∨I
ウ (ウ) (象b∨象c) A
エ (エ) 象b A
1 エ (オ) 動物b 4エMPP
1 エ (カ) 象b&動物b エオ&I
1 エ (キ) (象b&動物b)∨(象x&動物c) カ∨I
1 エ (ク)(象a&動物a)∨(象b&動物b)∨(象c&動物c) キ∨I
ケ(ケ) 象c A
1 ケ(コ) 動物c 5ケMPP
1 ケ(サ) 象c&動物c ケコ&I
1 ケ(シ) (象b&動物b)∨(象x&動物c) サ∨I
1 ケ(ス)(象a&動物a)∨(象b&動物b)∨(象c&動物c) シ∨I
ウ (セ)(象a&動物a)∨(象b&動物b)∨(象c&動物c) ウエクケス∨E
12 (ソ)(象a&動物a)∨(象b&動物b)∨(象c&動物c) 27イウセ∨E
といふ「命題計算(Propositional calculus)」に、「等しい」。
従って、
(01)により、
(02)
1 (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1 (〃)象は、鼻が長い。 A
2 (2)∀x{兎x→∃y(長y&耳yx)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
2 (〃)兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 A
3 (3)∃x(兎x&象x) A
1 (4) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
2 (5) 兎a→∃y(長y&耳ya)&∀z(耳za→~鼻za) 2UE
6 (6) 兎a&象a A
6 (7) 兎a 6&E
6 (8) 象a 6&E
1 6 (9) ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 48MPP
2 6 (ア) ∃y(長y&耳ya)&∀z(耳za→~鼻za) 57MPP
1 6 (イ) ∃y(鼻ya&長y) 9&E
ウ (ウ) 鼻ba&長b A
2 6 (エ) ∃y(長y&耳ya) ア&E
オ(オ) 長b&耳ba A
オ(カ) 耳ba オ&E
2 6 (キ) ∀z(耳za→~鼻za) ア&E
2 6 (ク) 耳ba→~鼻ba キUE
2 6 オ(ケ) ~鼻ba オクMPP
1 6 (コ) ∀z(~鼻za→~長z) ア&E
1 6 (サ) ~鼻ba→~長b コUE
12 6 オ(シ) ~長b ケサMPP
オ(ス) 長b オ&E
12 6 オ(セ) 長b&~長b シス&I
12 6 (ソ) 長b&~長b エオセEE
123 (タ) 長b&~長b 36ソEE
12 (チ)~∃x(兎x&象x) 3タRAA
12 (ツ)∀x~(兎x&象x) チ量化子の関係
12 (テ) ~(兎a&象a) ツUE
12 (ト) ~兎a∨~象a テ、ド・モルガンの法則
12 (ナ) 兎a→~象a ト含意の定義
12 (ニ)∀x(兎x→~象x) ナUI
12 (〃)すべてのxについて(xが兎であるならば、xは象ではない)。 ナUI
12 (〃)兎は、象ではない。 ナUI
といふ「述語計算(Predicate calculus)」であっても、「命題計算(Propositional calculus)」に、「置き換へ」ることが、出来るはずであるが、「大変(面倒)」なので、「やりたくない」。
然るに、
(01)により、
(03)
12 (8)∃x(象x&動物x) 247EE
といふ「結論」は、
∀x(象x→動物x),∃x(象x)├ ∃x(象x&動物x)
といふ「連式」に、相当する。
従って、
(01)(03)により、
(04)
{a,b,c}のみを含む、「3つの対象」から成る「世界」に於いて、
12 (8)∃x(象x&動物x) 247EE
といふ「結論」は、
(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c),(象a∨象b∨象c)├(象a&動物a)∨(象b&動物b)∨(象c&動物c)
といふ「連式」に、相当する。
従って、
(04)により、
(05)
{a,b,c}のみを含む、「3つの対象」から成る「世界」に於いて、
12 (8)∃x(象x&動物x) 247EE
といふ「結論」は、
(aが象ならば、aは動物である。)&(bが象ならば、bは動物である。)&(cが象ならば、cは動物である。),(aは象であるか、または、bは象であるか、または、cは象である。)それ故、(aは象であって、動物である)か、または、(bは象であって、動物である)か、または、(cは象であって、動物である)。
といふ「意味」である。
然るに、
(06)
(aが象ならば、aは動物である。)&(bが象ならば、bは動物である。)&(cが象ならば、cは動物である。)
といふのであれば、
(aは、象ではない)かも知れないし、
(bは、象ではない)かも知れないし、
(cは、象ではない)かも知れない。
然るに、
(07)
(aは象であるか、または、bは象であるか、または、cは象である。)
といふのであれば、「結論」としては、
(a、b、cの内の、少なくとも、1個体は、象である。)
といふことになり、そのため、「象は、存在する。」
従って、
(01)(03)~(07)により、
(08)
1 (1)∀x(象x→動物x) A
2(2)∃x(象x) A
1 (1)(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c) A
2(2)(象a∨象b∨象c) A
に於いて、
2(2)∃x(象x) A
といふ「前提2」ではなく、
1 (1)∀x(象x→動物x)≡(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c) A
といふ「前提1」自体は、「象の存在」を「確認」してはゐない。
従って、
(08)により、
(09)
∀x(Fx→Gx)
の形の文が意味していることはAのクラスにはどのようなxも存在しないということであって、xがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない(沢田允、現代論理学入門、1962年、124頁)。
といふ、ことになる。
令和02年10月02日、毛利太。
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