「実質含意の定義」と「ルカジェヴィッツの公理１」と「排中律」。

（01）
　―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ａ→Ｂ　　仮定
　２　（２）　～（～Ａ∨Ｂ）　仮定
　　３（３）　　　～Ａ　　　　仮定
　　３（４）　　　～Ａ∨Ｂ　　３選言導入
　２３（５）　～（～Ａ∨Ｂ）＆
　　　　　　　　（～Ａ∨Ｂ）　２４連言導入
　２　（６）　　～～Ａ　　　　３５背理法
　２　（７）　　　　Ａ　　　　６二重否定
１２　（８）　　　　　　Ｂ　　１７肯定肯定式
１２　（９）　　　～Ａ∨Ｂ　　８選言導入
１２　（ア）　～（～Ａ∨Ｂ）＆
　　　　　　　　（～Ａ∨Ｂ）　２９連言導入
１　　（イ）～～（～Ａ∨Ｂ）　２ア背理法
１　　（ウ）　　　～Ａ∨Ｂ　　イ二重否定
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ａ∨Ｂ　　　仮定
　２　　　　（２）　　Ａ＆～Ｂ　　　仮定
　　３　　　（３）　　～Ａ　　　　　仮定
　２　　　　（４）　　Ａ　　　　　　２連言除去
　２３　　　（５）　　～Ａ＆Ａ　　　３４連言導入
　　３　　　（６）～（Ａ＆～Ｂ）　　２５背理法
　　　７　　（７）　　　　　Ｂ　　　仮定
　２　　　　（８）　　　　～Ｂ　　　２連言除去
　２　７　　（９）　　Ｂ＆～Ｂ　　　７８連言導入
　　　７　　（ア）～（Ａ＆～Ｂ）　　２９背理法
１　　　　　（イ）～（Ａ＆～Ｂ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ａ　　　　　　仮定
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｂ　　　仮定
　　　　ウエ（オ）　　Ａ＆～Ｂ　　　ウエ連言導入
１　　　ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
　　　　　　　　　　（Ａ＆～Ｂ）　　イオ連言導入
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｂ　　　エカ背理法
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｂ　　　キ二重否定
１　　　　　（ケ）　　Ａ→　Ｂ　　　ウクＣＡ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ａ→Ｂ
② ～Ａ∨Ｂ
①＝② は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
１（１）　　　　　Ａ　　仮定
１（２）　　～Ｂ∨Ａ　　１選言導入
１（３）　　　Ｂ→Ａ　　２含意の定義
　（４）Ａ→（Ｂ→Ａ）　３ＣＡ
従って、
（03）により、
（04）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）≡Ａならば（ＢならばＡである）。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）≡Ａならば（ＢならばＡである）。
といふ「式」は、「ルカジェヴィッツの公理１」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）≡「ルカジェヴィッツの公理１」。
といふ「式」、すなはち、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡「ルカジェヴィッツの公理１」。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
［規則］
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式におきかえることによって得られた式は恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
① といふ「式」と、
② といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
１（１）　　　　Ｐ　　　　Ａ
１（２）　　～～Ｐ　　　　１ＤＮ
１（３）　　～～Ｐ∨Ｐ　　２∨Ｉ
１（４）　　　～Ｐ→Ｐ　　３含意の定義
　（５）Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　１４ＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（ＰでないならばＰである）。
といふ「不思議な式」は、果たして、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　　　　（１）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　Ａ
１　　　　（２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１含意の定義
　３　　　（３）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ）　　３∨
　　５　　（５）　　　（～Ｐ→Ｐ）　Ａ
　　５　　（６）　　　～～Ｐ∨Ｐ　　５含意の定義
　　　６　（７）　　　～～Ｐ　　　　Ａ
　　　６　（８）　　　　　Ｐ　　　　７ＤＮ
　　　　９（９）　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　５　　（ア）　　　　　Ｐ　　　　６７８９９∨Ｅ
　　５　　（イ）　　　　　Ｐ∨Ｐ　　ア∨Ｉ
　　５　　（ウ）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ）　イ∨ＩＩ
１　　　　（エ）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ）　１３４５ウ∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　　（１）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ）　Ａ
　２　　　（２）　～Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　２∨Ｉ
　　４　　（４）　　　　（Ｐ∨Ｐ）　Ａ
　　　５　（５）　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　５　（６）　　　～～Ｐ∨Ｐ　　６∨Ｉ
　　　　７（７）　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　　　７（８）　　　～～Ｐ∨Ｐ　　７∨Ｉ
　　４　　（９）　　　～～Ｐ∨Ｐ　　４５６７８∨Ｅ
　　４　　（ア）　　　　～Ｐ→Ｐ　　９含意の定義
　　４　　（イ）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　ア∨Ｉ
１　　　　（ウ）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１２３４イＥＥ
１　　　　（エ）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　ウ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
② 　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡　　　　　Ｐならば（Ｐでないならば、　　Ｐである）。
③ ～Ｐ∨（　Ｐ∨Ｐ）≡Ｐでないか、または（Ｐであるか、または、Ｐである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１　　　　（１）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　Ａ
１　　　　（２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１含意の定義
　３　　　（３）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　（～Ｐ→Ｐ）　Ａ
　　５　　（６）　　　～～Ｐ∨Ｐ　　５含意の定義
　　　６　（７）　　　～～Ｐ　　　　Ａ
　　　６　（８）　　　　　Ｐ　　　　７ＤＮ
　　　　９（９）　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　５　　（ア）　　　　　Ｐ　　　　６７８９９∨Ｅ
　　５　　（イ）　　～Ｐ∨Ｐ　　　　ア∨Ｉ
１　　　　（ウ）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　１３４５イ∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　　（１）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　（２）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　２∨Ｉ
　　４　　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　４　　（５）　～～Ｐ　　　　　　４含意の定義
　　４　　（６）　～～Ｐ∨Ｐ　　　　５∨Ｉ
　　４　　（７）　　～Ｐ→Ｐ　　　　６含意の定義
　　４　　（８）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　７∨Ｉ
１　　　　（９）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１２３４８∨Ｅ
１　　　　（ア）　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　９含意の定義
従って、
（13）により、
（14）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（ＰでないならばＰである）。
④       ～Ｐ∨Ｐ  ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
② 　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡　　　　　Ｐならば（Ｐでないならば、　　Ｐである）。
③ ～Ｐ∨（　Ｐ∨Ｐ）≡Ｐでないか、または（Ｐであるか、または、Ｐである）。
④         ～Ｐ∨Ｐ　≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
例へば、
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
③ 明日は晴れでないか、または（明日は晴れであるか、または、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（17）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
に於いて、
② は、「極めて、不自然である」が、
④ は、「極めて、当り前である」。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
といふ「命題」がさうであるやうに、「命題計算」に於いては、
②「極めて、不自然な命題」が、
④「極めて、当り前な命題」に「等しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
（01）（03）（09）（11）により、
（19）
② 　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡　　　　　Ｐならば（Ｐでないならば、　　Ｐである）。
③ ～Ｐ∨（　Ｐ∨Ｐ）≡Ｐでないか、または（Ｐであるか、または、Ｐである）。
④         ～Ｐ∨Ｐ　≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である「所以」は、
「命題計算」に於いて、「含意の定義」が、成り立つからであって、その一方で、
「含意の定義」に於ける「含意」を、「実質含意（material implication）」といふ。
従って、
（16）（18）（19）により、
（20）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
③ 明日は晴れでないか、または（明日は晴れであるか、または、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である「所以」は、
「命題計算」に於いて、「実質含意（material implication）の含意の定義」が、成り立つからである。
従って、
（20）により、
（21）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
といふ「言ひ方」が、「日常言の用法」としては、有りない。
といふのであれば、　「日常言の含意」は、「実質含意（material implication）」ではない。
といふ、ことになる。
然るに、
（22）
（ⅰ）
１　　　　　　（１）　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（２）　　　Ｐ　　　　　Ａ
１２　　　　　（３）　　　　　Ｑ　　　１２ＭＰＰ
（ⅱ）
１　　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ　（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ　（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ　（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　　（キ）　　　～～Ｑ　　　エＲＡＡ
１　　　ウ　　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
　　　　　　コ（コ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　コ（サ）　　　　　Ｑ　　　ケコＭＰＰ
従って、
（22）により、
（23）
① 　Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ，Ｐ├ Ｑ
に於いて、
① は、「妥当な連式」であって、
② も、「妥当な連式」である。
従って、
（20）～（24）により、
（24）
① Ｐならば、　Ｑである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
② Ｐでないか、Ｑである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
に於いて、
①＝② であるとしても、すなはち、
① Ｐならば、　Ｑである、然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
に於ける、
① Ｐならば、Ｑである。
といふ「含意」が、「実質含意（material implication）」であらうと、なからうと、
① Ｐならば、Ｑである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
といふ「推論」を行ふ際には、「何らの支障」も、きたさない。
従って、
（21）（24）により、
（25）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
といふ「言ひ方」が、「日常言の用法」としては、「非常識」である。
といふことは「事実」であったとしても、「推論」に於いて、「実質含意（material implication）」は、「何らの支障」もきたさない。
令和０２年１０月２７日、毛利太。