「２個のｘだけがＦである。」の「否定」の「述語論理」。

（01）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘが、Ｆである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個以下のｘが、Ｆである。」
ｃｆ.
「１個以下」≡「０個か１個」。
然るに、
（02）
③「１個以上で、１個以下の、ｘがＦである。」といふことは、
③「過不足なく、ただ１個の、ｘがＦである。」といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　≡「１個以上のｘがＦである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝　　　　　　　≡「１個以下のｘがＦである。」
③ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「ただ１個のｘがＦである。」
然るに、
（04）
（ⅲ）
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　Ａ
１　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（４）　　　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　１＆Ｅ
１　（５）　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　４ＵＥ
１　（６）　　　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆａ→ａ＝ａ　　　５ＵＥ
　３（７）　　　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　３３＆Ｉ
１３（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ａ　　　６７ＭＰＰ
１　（９）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆａ→ａ＝ａ　　　３８ＣＰ
１　（ア）　　　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　９ＵＩ
１３（イ）　　　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　３ア＆Ｉ
１３（ウ）　　　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　イＥＩ
１　（エ）　　　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　１３ウＥＥ
（Ⅲ）
１　　（１）　　　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　６冪等律
　２６（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　５７ＭＰＰ
　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ａ　　　＝Ｉ
　２６（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ＝ａ　　　８９＝Ｅ
　２６（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ＝ｂ　　　８ア＝Ｅ
　２　（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ　　　６イＣＰ
　２　（エ）　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ）　　ウＵＩ
　２　（オ）　　　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　エＵＩ
　２　（カ）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
１　　（キ）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２カＥＥ
１　　（ク）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　オキ＆Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅲ）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（Ⅲ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ⅲ）＝（Ⅲ） である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　≡「１個以上のｘがＦである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個以下のｘがＦである。」
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝≡「１個の、ｘだけがＦである。」
然るに、
（07）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝≡「１個の、ｘだけがＦである。」
であるならば、
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝≡「２個の、ｘだけがＦである。」
であるに、違ひない。
ｃｆ.
「ｘはＦであり、ｙもＦである。」＆「ｘとｙは別人である。」＆「誰かがＦであるならば、ｘかｙの、どちらかと同一人物である（三人目のＦはゐない）。」
然るに、
（08）
（ⅴ）
１　　　　　（１）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ　）＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）∀ｘ～∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　１量化子の関係
１　　　　　（３）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　２量化子の関係
１　　　　　（４）　　∀ｙ～｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　３ＵＥ
１　　　　　（５）　　　　～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］｝　４ＵＥ
１　　　　　（６）　　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）　∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　５ド・モルガンの法則
１　　　　　（７）　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　６結合法則
　８　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　Ａ
　８　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　８量化子の関係
　　ア　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［Ｆｃ→（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］　　Ａ
　　ア　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～｛～Ｆｃ∨［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］｝　ア含意の定義
　　ア　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ＆～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］　　イ、ド・モルガンの法則
　　ア　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　ア　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］　　ウ＆Ｅ
　　ア　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ）　　　オ、ド・モルガンの法則
　　ア　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ＆（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ）　　　エカ＆Ｉ
　　ア　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　キＥＩ
　８　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　８アクＥＥ
　８　　　　（コ）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　キ∨Ｉ
　　　サ　　（サ）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　サ　　（シ）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　ケ∨Ｉ
１　　　　　（ス）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　７８コサシ∨Ｅ
　　　　セ　（セ）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　セ　（ソ）　　～～［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セＤＮ
　　　　セ　（タ）　　　　　～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ、ド・モルガンの法則
　　　　セ　（チ）　　　　　～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　タ∨Ｉ
　　　　　ツ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　Ａ
　　　　　ツ（テ）　　　　　～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　ツ∨Ｉ
１　　　　　（ト）　　　　　～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　スセチツテ∨Ｅ
１　　　　　（ナ）　　　　　　［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　ト含意の定義
１　　　　　（ニ）　　　∀ｙ｛［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］｝　ナＵＩ
１　　　　　（ヌ）　∀ｘ∀ｙ｛［Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝　ニＵＩ
（Ⅴ）
１　　　　　（１）　∀ｘ∀ｙ｛［Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝　　Ａ
１　　　　　（２）　　　∀ｙ｛［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］｝　　１ＵＥ
１　　　　　（３）　　　　　　［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　　２ＵＥ
１　　　　　（４）　　　　　～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　　３含意の定義
　５　　　　（５）　　　　　～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　５　　　　（６）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　５　　　　（７）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　６∨イ
　　８　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］　　Ａ
　　　９　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ＆（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ）　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　９　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ）　　　８＆Ｅ
　　　９　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］　　９ド・モルガンの法則
　　　９　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ＆～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］　　９イ＆Ｉ
　　　９　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～｛～Ｆｃ∨［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］｝　オ、ド・モルガンの法則
　　　９　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［Ｆｃ→（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］　　カ含意の定義
　　　９　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　キＥＩ
　　８　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　８９クＥＥ
　　８　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　ケ量化子の関係
　　８　　　（サ）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　コ∨Ｉ
１　　　　　（シ）　　　　［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］　　１５７８サＥＥ
１　　　　　（ス）　　　　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］｝　シ、ド・モルガンの法則
１　　　　　（セ）　　∀ｙ～｛Ｆａ＆　Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　スＵＩ
１　　　　　（ソ）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆　Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　セＵＩ
１　　　　　（タ）∀ｘ～∃ｙ｛Ｆｘ＆　Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　ソ量化子の関係
１　　　　　（チ）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆　Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）　＆　∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝　タ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅴ）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
（Ⅴ）　∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
に於いて、
（ⅴ）＝（Ⅴ） である。
然るに、、
（09）により、
（10）
「ｘとｙとｚ」が「人物」であるとして、
（Ⅴ）∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
の場合は、
① ｘがＦであってｙも、　Ｆならば、必ず、ｚもＦである（３人がＦであるのかも知れない）。
② ｘとｙの、２人とも、　Ｆでない場合に、ｚはＦであるかも知れない（ｚだけがＦかも知れない）。
③ ｘとｙの、１人だけが、Ｆである場合に、ｚはＦであるかも知れない（ｚと他の一人がＦかも知れない）。
然るに、
（11）
① ３人がＦである。かも知れない。
② １人がＦである。かも知れない。
③ ２人がＦである。かも知れない。
といふことと、
④ 過不足なく、きっちり、２人がＦである。
といふことは、「矛盾」する。
ｃｆ.
（Ⅴ）は、実際には、「０人がＦである。」としても、「真」になる。
従って、
（07）～（11）により、
（12）
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
に於いて、確かに、
⑤ は、④ の「否定」になってゐる。
従って、
（07）（12）により、
（13）
④「過不足なく、２個のｘだけがＦである。」
⑤「過不足なく、２個のｘだけがＦである。」といふわけではない。
といふ「日本語」は、
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
といふ「述語論理」に、「相当」する。
（14）
④ 　∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ 　∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
⑥ ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
に於いて、
④ ＆ ⑥ は、「矛盾」そのものであるが、
⑤ は ⑥ に、「等しく」、その、
⑤ の「意味」からすると、
④ は、確かに、
④ 過不足なく、２個のｘだけがＦである。
といふ、「意味」になる。
令和０２年１０月２０日、毛利太。