「ピリオド越え」と「述語論理」。

（01）
―「昨日（令和０２年１０月１１日）の記事」でも示した通り、―
１　　　（１）　　∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　Ａ
１　　　（〃）あるｘは｛吾輩であって猫であり、名前は無い｝。　　　Ａ
　２　　（２）　　∃ｘ｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　　吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　タマａ＆　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　Ａ
　　３　（５）　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　３＆Ｅ
　　　４（６）　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　４＆Ｅ
　　３４（７）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　５６＆Ｉ
　２３　（８）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　２４７ＥＥ
１２　　（９）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　１３８ＥＥ
１　　　（ア）　～∃ｘ｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　∀ｘ～｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　ア量化子の関係
１　　　（ウ）　　　～｛タマａ＆　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　イＵＥ
１　　　（エ）　　　　～タマａ∨　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　ウ、ド・モルガンの法則
１　　　（オ）　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）∨～タマａ　　　　　　　　エ交換法則
１　　　（カ）　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）→～タマａ　　　　　　　　オ含意の定義
１　　４（キ）　　　　　　　　　　　　　　～タマａ　　　　　　　　６カＭＰＰ
１２　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　～タマａ　　　　　　　　２４キＥＥ
　　３　（ケ）　　　　　吾輩ａ＆猫ａ　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１２３　（コ）　　　　　吾輩ａ＆猫ａ＆～タマａ　　　　　　　　　　クケ＆Ｉ
１２３　（サ）　　∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）　　　　　　　　　コＥＩ
１２　　（シ）　　∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）　　　　　　　　　１３サＥＥ
１２　　（〃）あるｘは（吾輩であって猫であるが、タマではない）。　１３サＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝，∃ｘ｛タマｘ＆∃ｙ（名前ｙｘ）｝├ ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）
といふ「推論」、すなはち、
①｛吾輩は猫である。名前は無い。｝然るに、｛タマには名前が有る。｝従って、｛吾輩はタマではないが、猫である。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
ピリオド越えとは、「Ⅹは」という「主語」が「以降の文の主語」としても働く現象のことだ。それはどういうものなのか、実例として
夏目漱石の『吾輩は猫である』の冒頭の文章を見てみよう。
　吾輩は猫である。名前はまだ無い。どこで生れたか頓と見当がつかぬ。
　何でも薄暗いじめじめした所でニャーニャー泣いていた事だけは記憶している。
　最初の文の主語（「主題」とも言う）である「吾輩」は、以降の文の主語でもある。
（オルタナティブブログ：どんなときに主語を省略できるのか。）
従って、
（03）により、
（04）
「ピリオド越え」といふのは、例へば、
① 吾輩は猫である。名前はまだ無い。
といふ「文」が、「実質的」に、
① 吾輩は猫である。（吾輩は）名前はまだ無い。
といふ「意味」である。といふ、ことを言ふ。
然るに、
（05）
１　（１）　　　　　　　∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　Ａ
１　（〃）　　　　　あるｘは｛吾輩であって猫であり、名前は無い）。　　　Ａ
　２（２）　　　　　　　　　　吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　　　　　　吾輩ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　　　　　　　　猫ａ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　２＆Ｅ
　２（６）　　　　　　　　　　　　　吾輩ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　３５＆Ｉ
　２（７）　　　　　　　　　　∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　６ＥＩ
１　（８）　　　　　　　　　　∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　１２７ＥＥ
　２（９）　　　　　　　　　　吾輩ａ＆猫ａ　　　　　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　２（ア）　　　　　　　∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）　　　　　　　　　　　　　　９ＥＩ
１　（イ）　　　　　　　∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）　　　　　　　　　　　　　　１２アＥＥ
１　（ウ）∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）＆∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　８イ＆Ｉ
１　（〃）あるｘは（吾輩であって猫である。）＆
　　　　　あるｘは｛吾輩であって（ｘの名前である所のｙは）存在しない。｝８イ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ  ＆　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙｘ）｝├
　 ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）＆∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「連式」、すなはち、
①｛吾輩は猫である。　　　　　名前は無い。｝故に、
　｛吾輩は猫であり｝、｛吾輩は名前は無い。｝
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
①｛吾輩は猫である。　　　　　名前は無い。｝故に、
　｛吾輩は猫であり｝、｛吾輩は名前は無い。｝
といふ「推論」が、「妥当」である。といふことは、
① 吾輩は猫である。　　　　　名前は無い。
② 吾輩は猫である。（吾輩は）名前は無い。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（04）～（07）により、
（08）
① 吾輩は猫である。　　　　　名前は無い。
② 吾輩は猫である。（吾輩は）名前は無い。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「ピリオド越え」に、他ならない。
従って、
（04）～（08）により、
（09）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ  ＆　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙｘ）｝├
　 ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）＆∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「連式」が「妥当」であるからこそ、
① 吾輩は猫である。　　　　　名前は無い。
② 吾輩は猫である。（吾輩は）名前は無い。
に於いて、
① ならば、② である。
といふ「ピリオド越え」が、「実現」する。
然るに、
（10）
EXCERCISES
１　For each of the following formulae, state whether it is a well-formed formula, a propositional function not a well-formed formula, or neither.
練習問題
１　つぎの式のそれぞれについて、それが「論理式であるのか」、または、「論理式ではなくて、命題関数であるのか」、または、「論理式でも、命題関数でも、ないのか」を述べよ。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８７頁改）
（私による）解答：
（ａ）∀ｘ（Ｇｘａ） は、「論理式」である。
（ｂ）∀ｘ（Ｇｙａ） は、「論理式」でも、「命題関数」でもないため、所謂、「非文」である。
（ｃ）∀ｘ（Ｇｘｙ） は、「ｙに関する、命題関数」である。
然るに、
（11）
「Ｆｘ」、「（Ｆｙ→∀ｘ（Ｇｘ））」、「Ｈｘｙ」のような式は、「縛られていない、変数ｘ」および「縛られていない、変数ｙ」が含まれていることから考えて、「真または偽なる命題」を表現する、「完全な文（complete sentence）」でないことから、われわれの今の定義によって「論理式」とはみなされないのではあるが、以下においては、それらの式に対する呼び名のある方が便利である。われわれは論理学の伝統にしたがって、「命題関数（propositional function）」の名を用いるであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８２頁改）
従って、
（10）（11）
（12）
　「論理式」は「完全な文（complete sentence）」であるが、
「命題関数」は「完全な文（complete sentence）」ではない。
然るに、
（13）
「完全な文（complete sentence）」ではないのであれば、「文（sentence）」ではない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「命題関数」は、所謂、「文（sentence）」ではない。
然るに、
（15）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝≡吾輩は猫である。名前は無い。
② 　　　　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙｘ）　≡名前は無い（ｘの名前である所のｙは存在しない）。
に於いて、
① は「　論理式（文である）」であるが、
② は「命題関数（文でない）」である。
従って、
（05）（09）（14）（15）により、
（16）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
ピリオド越えとは、「Ⅹは」という「主語」が「以降の文（sentence）の主語」としても働く現象のことだ。
といふ「言ひ方」は、「正しく」はなく、
ピリオド越えとは、「Ⅹは」という「主語」が『以降の「命題関数（propositional function）」の主語』としても働く現象のことだ。
といふ「言ひ方」こそが、「正しい」。
令和０２年１０月１２日、毛利太。